Une question par chapitre, 22 en tout, tirées des exercices corrigés du cours. Réponds à celles que tu sais faire et passe celles d'un chapitre que tu n'as pas encore vu : chaque réponse se vérifie tout de suite, et la correction s'ouvre après.
Avec ton espace gratuit, chaque réponse est gardée et ton tableau de bord range chaque chapitre : réussi au test, ou à travailler. Ce sont les mêmes questions que sur les pages des séries : une réponse donnée ici compte là-bas.
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Ce que le cours suppose
Ces chapitres viennent d'une année précédente, et le cours s'appuie dessus dès les premières semaines.
Mathématiques · Quatrième · Multiples, diviseurs et nombres premiers
En écrivant 63=7×9, on n'a pas posé une multiplication : on a écrit une carte d'identité. Cette seule égalité contient toutes les phrases du chapitre, et tant qu'elle n'est pas écrite, aucune ne peut être justifiée. Le rectangle ci-dessous la montre autrement : un diviseur, c'est la longueur d'un côté entier.
2) Le nombre 84 est-il un multiple de 12 ? de 7 ? de 9 ? Justifier chaque réponse par une égalité ou par une division.
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Réponse
2)Oui, oui, non (reste 3)
2) Oui pour 12 : 84=12×7, et le quotient 7 est un entier. Oui pour 7 : la même égalité se relit 84=7×12, une seule égalité suffit donc pour les deux réponses. Non pour 9 : la division euclidienne donne 84=9×9+3, il reste 3. Pour répondre NON, il faut exhiber ce reste non nul ; écrire « 9 ne va pas dans 84 » sans calcul ne prouve rien. On pouvait aussi utiliser le critère : 8+4=12 est multiple de 3 mais pas de 9.
Mathématiques · Quatrième · Calcul littéral et équations
Réduire, c'est regrouper les termes SEMBLABLES, c'est-à-dire ceux qui ont exactement la même partie littérale. Un terme en x ne se regroupe jamais avec un nombre seul, ni avec un terme en x2.
1) Réduisez 5x+3x−2x, puis 7a−2a+a.
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Réponse
1)6x et 6a
1) 5x+3x−2x=6x : les trois termes ont la même partie littérale x, on additionne donc les coefficients, 5+3−2=6. De même 7a−2a+a=6a, à condition de compter le dernier terme comme +1a : un coefficient invisible vaut 1, jamais 0.
Quand c'est l'hypoténuse qui est connue, on SOUSTRAIT : le carré du côté cherché est la différence entre le carré de l'hypoténuse et le carré du côté connu.
La figure ci-dessous représente le triangle ABC rectangle en A ; elle n'est pas à l'échelle.
1) Le triangle ABC est rectangle en A, avec BC=13 cm et AB=5 cm. Calculez AC.
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Réponse
1)12 cm
1) AC2=BC2−AB2=169−25=144, donc AC=12 cm. On retrouve le triangle 5, 12, 13.
Mathématiques · Quatrième · Pyramides et cônes de révolution
Un cône de révolution a pour base un disque. En remplaçant B par πr2 dans la formule de la pyramide, on obtient V=3π×r2×h. On donne toujours la valeur exacte avec π d'abord, l'arrondi ensuite.
La figure ci-dessous représente le cône de la question 1.
2) Cône de DIAMÈTRE 10 cm et de hauteur 12 cm : même question.
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Réponse
2)100π≈314,16 cm³
2) Le diamètre vaut 10 cm, donc le RAYON vaut 5 cm. V=3π×52×12=3300π=100π cm3, soit environ 314,16 cm3. Le réflexe à installer : dès qu'un énoncé donne un diamètre, on écrit r=2d sur sa copie avant toute autre ligne.
Mathématiques · Quatrième · Proportionnalité, pourcentages et vitesses
Un train parcourt 234 km en 1 h 30 min.
4) Combien de temps met-il pour parcourir 390 km ? Donnez la réponse en heures et minutes.
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Réponse
4)2 h 30 min
4) t=156390=2,5 h, soit 2 h 30 min. Attention à la conversion finale : 2,5 h ne se lit pas 2 h 5 min. On reconvertit la partie décimale en minutes, 0,5×60=30.
Mathématiques · Quatrième · Statistiques et probabilités
Onze élèves donnent leur temps de trajet, en minutes, pour venir au collège : 12, 25, 8, 40, 15, 22, 10, 35, 18, 12, 60.
2) Déterminez la médiane et interprétez-la par une phrase.
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Réponse
2)18 minutes
2) Il y a 11 valeurs, donc la médiane est celle de rang 211+1=6, c'est-à-dire 18 minutes. Interprétation : au moins la moitié des élèves mettent 18 minutes ou moins, et au moins la moitié mettent 18 minutes ou plus.
Mathématiques · Quatrième · Algorithmique et Scratch
Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.
2) « Le bloc mettrenaˋn+1 est impossible, car un nombre ne peut pas être égal à lui-même plus un. »
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Réponse
2)Affectation : 7 devient 8
2) FAUX, et l'erreur porte sur le sens du mot « à ». Énoncé correct : « mettrenaˋn+1 range dans la case n le résultat du calcul n+1 effectué avec l'ancienne valeur ». Ce n'est pas une égalité mathématique mais une AFFECTATION : si n valait 7, il vaut 8 après le bloc. C'est d'ailleurs ce bloc qui fait fonctionner tous les compteurs.
On considère les trois fonctions définies par f(x)=2x+7, g(x)=x2−3 et k(x)=5−4x.
Calculer une image ne demande qu'une chose : remplacer x par le nombre voulu, en gardant les parenthèses quand ce nombre est négatif.
b) Calculez g(4), g(−4) et g(0).
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Réponse
b)13, 13 et −3
b) g(4)=42−3=16−3=13. g(−4)=(−4)2−3=16−3=13. g(0)=02−3=−3. Les parenthèses autour de −4 ne sont pas facultatives : elles indiquent que c'est le nombre entier −4 qui est élevé au carré.
On considère la fonction linéaire f définie par f(x)=−2,5x.
Toutes les questions se traitent avec le même coefficient : calculer une image, c'est multiplier par −2,5, et chercher un antécédent, c'est diviser par −2,5.
a) Calculez f(4), f(−6) et f(0).
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Réponse
a)−10, 15 et 0
a) f(4)=−2,5×4=−10. f(−6)=−2,5×(−6)=15 : le produit de deux nombres négatifs est positif, et c'est le calcul le plus souvent raté de la question. f(0)=−2,5×0=0, ce qui est vrai pour toute fonction linéaire.
Une fonction affine dépend de DEUX nombres, a et b : il faut donc deux informations pour la déterminer entièrement, là où une seule suffisait pour une fonction linéaire.
Dans chaque cas, déterminez la fonction affine demandée.
a) f est affine, f(2)=7 et f(5)=16.
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Réponse
a)f(x)=3x+1
a) On calcule d'abord le coefficient directeur, qui est le quotient de l'écart des images par l'écart des nombres de départ : a=5−2f(5)−f(2)=316−7=39=3. On sait donc que f(x)=3x+b. Il reste à trouver b en utilisant l'une des deux données, par exemple f(2)=7 : 3×2+b=7, soit 6+b=7, donc b=1. La fonction est f(x)=3x+1. Ordre des opérations à respecter : toujours a d'abord, b ensuite, car b ne peut se calculer qu'une fois a connu.
Chapitre 4 · PGCD, Euclide et fractions irréductibles
Quand les nombres sont trop grands pour être décomposés de tête, on utilise l'algorithme d'Euclide : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et on recommence jusqu'à obtenir un reste nul. Le tableau de la figure est amorcé.
1) Compléter les trois divisions euclidiennes du tableau et donner le plus grand diviseur commun de 1071 et 462.
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Réponse
1)Restes 147, 21, 0 ; plus grand diviseur commun 21
1) Première division : 1071=2×462+147, reste 147. Deuxième : 462=3×147+21, reste 21. Troisième : 147=7×21+0, reste nul. Le dernier reste NON NUL est 21, donc le plus grand diviseur commun de 1071 et 462 vaut 21.
Le cosinus relie l'angle, le côté adjacent et l'hypoténuse. Tout dépend ensuite de la place de l'inconnue dans la fraction : si elle est au NUMÉRATEUR on multiplie, si elle est au DÉNOMINATEUR on divise.
La calculatrice doit être en mode degrés, ce qui s'affiche par un petit D ou DEG à l'écran. Les trois triangles des questions 1 à 3 sont représentés ci-dessous.
2) DEF est rectangle en D, avec E=64° et DE=4,5 cm. Calculez EF au dixième.
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Réponse
2)EF≈10,3 cm
2) Ici [DE] est le côté adjacent à E et [EF] est l'hypoténuse, donc cos(64°)=EF4,5. L'inconnue est au DÉNOMINATEUR : on divise, EF=cos(64°)4,5≈0,43844,5≈10,3 cm. Contrôle : 10,3>4,5, c'est bien une hypoténuse.
Trois triangles sont dessinés ci-dessous, dans des positions différentes. Leurs mesures sont :
Triangle ABC : AB=4 cm, BC=6 cm, CA=5 cm.
Triangle DEF : DE=6 cm, EF=5 cm, FD=4 cm.
Triangle GHI : GH=6 cm, HI=9 cm, IG=7,5 cm.
1) Deux de ces triangles sont égaux. Lesquels ? Écrivez la correspondance des sommets.
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Réponse
1)ABC et FDE
1) Les triangles ABC et FDE sont égaux. On le voit en rangeant les longueurs : ABC a pour côtés 4, 5 et 6, et DEF aussi. Reste à apparier les sommets, et c'est là qu'est le travail : AB=4 correspond à FD=4, BC=6 à DE=6 et CA=5 à EF=5. Le sommet B est commun à [AB] et [BC], donc il correspond au sommet commun à [FD] et [DE], c'est-à-dire D. De la même façon A correspond à F et C à E. La correspondance est donc A↔F, B↔D, C↔E, et l'on écrit « ABC et FDE sont égaux ». Écrire « ABC et DEF sont égaux » serait faux : les côtés ne se correspondraient pas.
Chapitre 7 · Thalès, réciproque et agrandissements
Sur la figure, M appartient au segment [AB], N appartient au segment [AC], et la droite (MN) est parallèle à la droite (BC). Avant d'écrire le moindre quotient, il faut dire quels triangles se correspondent et dans quel ordre.
3) Calculer le rapport ABAM après avoir calculé AB.
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Réponse
3)AB=7,5 ; quotient 0,4
3) M est sur [AB], donc AB=AM+MB=3+4,5=7,5 cm. L'énoncé ne donne jamais AB directement, il donne les deux morceaux : penser à les additionner est la première marche de l'exercice. On obtient ABAM=7,53=0,4.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. C'est la seule règle du chapitre qui permette de RÉSOUDRE, et c'est pour cela que l'on factorise.
Elle ne vaut que pour le nombre zéro. Aucun autre nombre ne possède cette propriété : deux facteurs peuvent parfaitement donner 12 sans qu'aucun des deux ne vaille 12.
1) Résolvez (x−3)(x+7)=0.
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Réponse
1)−7 et 3
1) Le produit est nul, donc x−3=0 ou x+7=0, c'est-à-dire x=3 ou x=−7. Le mot « ou » est essentiel : les deux valeurs conviennent séparément, il n'est pas question de choisir. Vérification : pour x=3, le premier facteur vaut 0 et le produit vaut 0 ; pour x=−7, c'est le second facteur qui s'annule. Piège de signe très fréquent : la solution associée au facteur (x+7) est −7 et non +7.
Chapitre 9 · Équations, équations produit et inéquations
L'équation x2=a ne se résout pas en divisant par x, ce qui ferait perdre une solution, ni en prenant la racine carrée sans réfléchir, ce qui en ferait perdre une autre. Elle se discute selon le signe de a.
1) Résoudre x2=49.
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Réponse
1)−7 et 7
1) Comme 49>0, il y a deux solutions opposées : x=7 ou x=−7, car 72=49 et (−7)2=49. Écrire seulement x=7 fait perdre la moitié de la réponse, et c'est l'erreur numéro un du chapitre. Le symbole 49 désigne uniquement le nombre POSITIF 7 : c'est pour cela qu'il faut écrire les deux solutions à la main.
Un cylindre de révolution a pour rayon 5 cm et pour hauteur 12 cm. On le coupe de deux façons : par un plan parallèle à sa base, puis par un plan parallèle à son axe.
2) Quelle est la nature de la section 2, par un plan contenant l'axe ? Donner ses dimensions et son aire.
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Réponse
2)Rectangle de 10 sur 12 : 120 cm²
2) Un plan contenant l'axe coupe le cylindre selon un RECTANGLE. Sa hauteur est celle du cylindre, 12 cm, et sa largeur est le DIAMÈTRE, 2×5=10 cm. Son aire vaut 10×12=120 cm2. L'erreur la plus commune est d'utiliser le rayon au lieu du diamètre, ce qui divise l'aire par deux.
Une expression n'est complètement factorisée que lorsque plus aucun facteur ne peut l'être. La méthode est toujours la même : on cherche d'abord un facteur commun, et seulement ensuite une identité.
Parfois l'ordre s'inverse : l'identité fait apparaître un facteur commun qui n'était pas visible au départ.
a) Factorisez 3x2−75 le plus complètement possible.
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Réponse
a)3(x−5)(x+5)
a) Le facteur commun saute aux yeux : 3x2−75=3(x2−25). La parenthèse est alors une différence de deux carrés, x2 et 52, donc 3x2−75=3(x−5)(x+5). Vérification pour x=1 : 3−75=−72 et 3×(−4)×6=−72. Celui qui saute le facteur commun cherche en vain deux carrés dans 3x2−75, car 3x2 n'est pas un carré et 75 non plus : il conclut souvent, à tort, que l'expression ne se factorise pas. Sortir le facteur commun coûte une ligne et débloque la suite.
Chapitre 12 · Moyenne, médiane, quartiles et étendue
Onze coureurs ont mis, en secondes, les temps suivants sur un 100 mètres : 12 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 18 ; 19 ; 21 ; 25. Les valeurs sont déjà rangées dans l'ordre croissant, ce qui est toujours la première chose à vérifier.
4) Le coureur le plus lent, à 25 s, abandonne. Recalculer médiane, étendue et moyenne.
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Réponse
4)16,5 ; 9 ; 16,5
4) Il reste dix valeurs, un effectif PAIR : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs 5 et 6, soit 216+17=16,5 secondes. L'étendue devient 21−12=9 secondes. La somme tombe à 190−25=165, donc la moyenne vaut 10165=16,5 secondes.
Chapitre 13 · Probabilités et arbres à deux épreuves
Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la REMET dans l'urne, puis on en tire une seconde. L'arbre de la figure décrit l'expérience.
4) Calculer la probabilité d'obtenir une boule de chaque couleur.
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Réponse
4)0,48
4) Deux chemins conviennent, rouge puis verte et verte puis rouge, et il faut les ADDITIONNER : 52×53+53×52=256+256=2512=0,48. Oublier l'un des deux chemins, et donc répondre 256, est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre : l'énoncé ne dit pas dans quel ORDRE les couleurs sortent.
Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.
1) « Pour échanger deux variables, il suffit d'écrire mettreaaˋb puis mettrebaˋa. »
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Réponse
1)Il faut une variable auxiliaire
1) FAUX. Énoncé correct : « il faut une variable auxiliaire, ou bien la suite de trois affectations de l'exercice 1 ». Avec la version proposée, la première instruction écrase a, dont l'ancienne valeur est alors définitivement perdue : partant de a=12 et b=5, on obtient a=5 puis b=5. Les deux variables finissent égales au lieu d'être échangées.
Ton tableau de bord range chaque chapitre selon tes réponses et te dit par où commencer. Une date d'examen en tête ? Note-la sur la carte du cours : il en tire un plan, jour après jour.
