Faire le point : Mathématiques, Seconde

2) $42=6\times 7$, donc on multiplie aussi le numérateur par $7$ : $\dfrac{5}{6}=\dfrac{35}{42}$. Pour la seconde, $63=9\times 7$, donc on DIVISE $28$ par $7$ : $\dfrac{4}{9}=\dfrac{28}{63}$. On regarde toujours d'abord ce qui a été fait au dénominateur, jamais l'inverse.

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1) $10^{5}\times 10^{3}=10^{8}$ ; $10^{7}\div 10^{4}=10^{3}$ ; $(10^{3})^{4}=10^{12}$ ; $10^{-2}\times 10^{5}=10^{3}$. Dans le dernier cas, on additionne bien les exposants avec leur signe : $-2+5=3$.

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4) L'aire de l'image vaut $12$ cm$^2$ et l'angle mesure $47^\circ$ : rien ne change. L'angle de la rotation, $60^\circ$, dit de combien la figure PIVOTE, il ne s'applique pas aux angles intérieurs de la figure et il ne modifie aucune mesure. L'erreur classique consiste à multiplier ou à combiner ces deux angles, par exemple à écrire $47+60=107^\circ$ : c'est confondre le déplacement de la figure avec sa forme. Coût de l'erreur : toute la suite du problème est fausse, et le résultat n'a même plus de sens géométrique.

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4) $t=\dfrac{390}{156}=2{,}5$ h, soit $2$ h $30$ min. Attention à la conversion finale : $2{,}5$ h ne se lit pas $2$ h $5$ min. On reconvertit la partie décimale en minutes, $0{,}5\times 60=30$.

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b) $g(4)=4^2-3=16-3=13$. $g(-4)=(-4)^2-3=16-3=13$. $g(0)=0^2-3=-3$. Les parenthèses autour de $-4$ ne sont pas facultatives : elles indiquent que c'est le nombre entier $-4$ qui est élevé au carré.

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a) On calcule d'abord le coefficient directeur, qui est le quotient de l'écart des images par l'écart des nombres de départ : $a=\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{16-7}{3}=\frac{9}{3}=3$. On sait donc que $f(x)=3x+b$. Il reste à trouver $b$ en utilisant l'une des deux données, par exemple $f(2)=7$ : $3\times 2+b=7$, soit $6+b=7$, donc $b=1$. La fonction est $f(x)=3x+1$. Ordre des opérations à respecter : toujours $a$ d'abord, $b$ ensuite, car $b$ ne peut se calculer qu'une fois $a$ connu.

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1) Première division : $1071=2\times 462+147$, reste $147$. Deuxième : $462=3\times 147+21$, reste $21$. Troisième : $147=7\times 21+0$, reste nul. Le dernier reste NON NUL est $21$, donc le plus grand diviseur commun de $1071$ et $462$ vaut $21$.

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2) Ici $[DE]$ est le côté adjacent à $\widehat{E}$ et $[EF]$ est l'hypoténuse, donc $\cos(64°)=\dfrac{4{,}5}{EF}$. L'inconnue est au DÉNOMINATEUR : on divise, $EF=\dfrac{4{,}5}{\cos(64°)}\approx\dfrac{4{,}5}{0{,}4384}\approx 10{,}3$ cm. Contrôle : $10{,}3>4{,}5$, c'est bien une hypoténuse.

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1) On ramène à zéro : $x^{2}-64=0$, soit $(x-8)(x+8)=0$. Le produit est nul, donc $x-8=0$ ou $x+8=0$ : les solutions sont $8$ et $-8$. Écrire seulement $x=8$ est l'erreur classique, et elle coûte la moitié des points : deux nombres opposés ont le même carré. Retenez la règle générale : $x^{2}=k$ a deux solutions si $k>0$, une seule si $k=0$, et aucune si $k<0$.

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1) $-3<x\le 4$ s'écrit $]-3\ ;\ 4]$ : crochet ouvert à gauche parce que l'inégalité est stricte, crochet fermé à droite parce qu'elle est large. $x\ge 2$ s'écrit $[2\ ;\ +\infty[$ et $x<5$ s'écrit $]-\infty\ ;\ 5[$. Le crochet est TOUJOURS ouvert du côté de l'infini : $+\infty$ n'est pas un nombre, il ne peut pas appartenir à un ensemble de nombres.

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Une démonstration de ce chapitre a toujours la même structure : on TRADUIT l'hypothèse par la définition, avec une lettre par entier inconnu ; on CALCULE ; on RECONNAÎT la forme demandée en nommant l'entier qui la réalise. Des exemples, même nombreux, ne prouvent rien : ils peuvent seulement réfuter.

a) Hypothèse : $m$ et $n$ sont des multiples de $12$, donc il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $m=12k$ et $n=12k'$. Alors $m+n=12k+12k'=12(k+k')$, et $k+k'$ est un entier, somme de deux entiers : $m+n$ est un multiple de $12$. De même $5m-3n=60k-36k'=12(5k-3k')$, avec $5k-3k'$ entier. Pour $m=84$ et $n=132$ : $84=12\times 7$ et $132=12\times 11$, donc $k=7$ et $k'=11$, puis $5m-3n=420-396=24=12\times 2$, soit $j=5\times 7-3\times 11=2$. Le piège est d'écrire $m=12k$ et $n=12k$ avec la MÊME lettre : on n'aurait traité que le cas $m=n$, et la démonstration ne vaudrait plus rien, alors que chaque ligne de calcul serait juste.

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b) $\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ : on ne peut additionner que des radicaux ayant la MÊME partie irrationnelle, exactement comme on n'additionne que des termes en $x$ entre eux. Ensuite $\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)=3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}=9-5=4$, par la différence de carrés : le produit de deux irrationnels donne ici un entier.

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b) On ne soustrait pas deux encadrements. On encadre d'abord $-y$ : multiplier $1\le y\le 3$ par $-1$ renverse le sens, donc $-3\le -y\le -1$, et l'on remarque que les deux bornes ont échangé leurs rôles, $-3$ venant de $3$ et $-1$ venant de $1$. On additionne ensuite avec $2\le x\le 5$ : $2-3\le x-y\le 5-1$, soit $-1\le x-y\le 4$. Vérification aux bornes : $x=2$ et $y=3$ donnent $-1$ ✓, $x=5$ et $y=1$ donnent $4$ ✓. Retenir la logique : la plus petite différence, c'est le plus petit $x$ moins le plus GRAND $y$.

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a) Après la hausse : $200\times 1{,}20=240$ dollars. Après la baisse, les $20\ \%$ portent sur $240$ et non sur $200$ : $240\times 0{,}80=192$ dollars.

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a) $f(x)=-(x^2-6x)-5=-((x-3)^2-9)-5=-(x-3)^2+9-5=-(x-3)^2+4$. Sommet $S(3,\ 4)$, axe de symétrie $x=3$. Pourquoi l'axe est-il en $x=3$ : la valeur de $f$ ne dépend de $x$ que par $(x-3)^2$, et deux nombres opposés ont le même carré. Donc $3+d$ et $3-d$ ont toujours la même image, quelle que soit la distance $d$.

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b) Ici les deux vecteurs partent du même point, il n'y a donc rien à enchaîner directement. On transforme la soustraction en addition de l'opposé : $-\vec{AC}=\vec{CA}$, d'où $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}$. Règle utile à mémoriser sous cette forme : $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}$, une différence de deux vecteurs de même origine relie leurs extrémités, en partant de celui qu'on retranche.

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a) Par rapport à $\widehat{B}$, le côté $[AC]$ est opposé et $[AB]$ adjacent : $\tan\widehat{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{4}=1{,}75$. Donc $\widehat{B}=\arctan(1{,}75)\approx 60{,}3^{\circ}$. Sur la calculatrice, c'est la touche TANGENTE INVERSE qu'il faut employer, et non une division par la tangente : $\frac{1{,}75}{\tan}$ n'a aucun sens.

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c) La fonction inverse est DÉCROISSANTE sur $]0;+\infty[$, donc elle renverse l'ordre : $0<a<b$ entraîne $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$. Il faut citer le sens de variation, c'est lui qui justifie le renversement ; l'affirmer sans justification ne vaut aucun point.

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a) $MN=|-1{,}5-(-4)|=|2{,}5|=2{,}5$. $NP=|3-(-1{,}5)|=|4{,}5|=4{,}5$. $MP=|3-(-4)|=|7|=7$. $2{,}5+4{,}5=7$ : l'égalité $MN+NP=MP$ est vraie parce que $N$ est situé ENTRE $M$ et $P$ sur la droite. L'égalité exige que le point intermédiaire soit entre les deux autres ; dans un autre ordre, elle tombe : $MP+PN=7+4{,}5=11{,}5$, alors que $MN=2{,}5$.

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Avant tout calcul, on isole le carré (ou la racine) d'un côté, puis on lit le signe de l'autre membre : c'est lui qui dit combien il y a de solutions.

a) $121=11^{2}$ et $121>0$ : deux solutions, $x=-11$ ou $x=11$. Piège : ne donner que $11$. Or $(-11)^{2}=121$ aussi : le carré efface le signe, et l'équation ne peut pas le retrouver.

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a) Une fonction est affine lorsqu'elle s'écrit $ax+b$, donc lorsque la variable n'apparaît qu'au premier degré et jamais au dénominateur. $f(x)=3x-7$ est affine avec $a=3$ et $b=-7$. $g$ ne l'est pas, à cause du carré. $h$ ne l'est pas, à cause du $x$ au dénominateur. $k(x)=-4$ est affine avec $a=0$ et $b=-4$. Enfin $m(x)=2(x-3)+x=2x-6+x=3x-6$ est bien affine, avec $a=3$ et $b=-6$ : il faut développer avant de conclure, et c'est le cas qui piège le plus souvent.

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a) La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours $1$ : $0{,}1\times 3+0{,}15\times 2+P(6)=1$, soit $0{,}3+0{,}3+P(6)=1$, donc $P(6)=0{,}4$. La rédaction attendue commence par citer cette propriété, pas par poser l'équation : c'est elle qui justifie le calcul.

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a) Ajouter un point revient à la transformation $y=x+1$. La moyenne devient $11+1=12$. L'écart type reste $2{,}5$ : toutes les notes se DÉCALENT de la même quantité, donc les écarts entre elles, et à la moyenne, sont rigoureusement inchangés.

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La méthode est la même pour chaque phrase : le groupe qui suit « des » ou « parmi » est la population dans laquelle on compte, et c'est SON total qui va au dénominateur. Le groupe qui suit « sont » est ce qu'on compte, et c'est la case qui va au numérateur.

b) « Des chômeurs » : on compte cette fois parmi les $123$ chômeurs, total de la colonne. $\dfrac{45}{123}\approx 0{,}366$, soit environ $36{,}6\ \%$. La phrase est FAUSSE : elle a gardé le pourcentage de a) en échangeant les deux groupes. Les mêmes $45$ personnes pèsent $15\ \%$ d'un groupe et $36{,}6\ \%$ de l'autre, parce que les deux groupes n'ont pas la même taille. Ce retournement de phrase est la faute que les médias commettent le plus souvent.

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d) Pièces conformes : $5\,000-200=4\,800$, dont $2\ \%$ rejetées, soit $96$ pièces rejetées à tort ; en probabilité, $P(\overline{D}\cap R)=0{,}96\times 0{,}02=0{,}0192$ et $0{,}0192\times 5\,000=96$. Au total $180+96=276$ pièces rejetées. Parmi elles, la proportion de défectueuses est $P_{R}(D)=\dfrac{180}{276}\approx 0{,}652$. Le contrôle rejette donc $90\ \%$ des défectueuses, mais seulement $65\ \%$ environ des pièces rejetées sont défectueuses : les $96$ conformes rejetées pèsent lourd parce qu'elles sont prélevées dans une population $24$ fois plus nombreuse. Pour retourner le conditionnement, on n'a utilisé aucune formule nouvelle : on a compté sur une journée, puis divisé par le bon total, celui des rejetées.

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a) len(notes) vaut $6$, notes[0] vaut $12$, notes[2] vaut $15$ et notes[len(notes) - 1] vaut $11$. Les indices commencent à ZÉRO, donc le dernier indice est $5$ et non $6$ : écrire notes[6] provoquerait une erreur d'indice. L'écriture notes[len(notes) - 1] est la façon standard de désigner le dernier élément sans connaître la taille.

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a) On utilise un ACCUMULATEUR, une variable initialisée à zéro à laquelle on ajoute chaque élément : s = 0 puis for x in T: puis s = s + x puis print(s/len(T)). La somme vaut $21{,}4+22{,}1+20{,}8+21{,}9+22{,}3+21{,}0+21{,}5=151{,}0$ et il y a sept mesures, donc la moyenne vaut $\frac{151}{7}\approx 21{,}57$ degrés. Le point à ne pas rater : la division se fait APRÈS la boucle, une seule fois. Écrire s = s/len(T) à l'intérieur diviserait à chaque tour et donnerait n'importe quoi.

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