Faire le point : Mathématiques TS, Secondaire 4 TS

Une question par chapitre, 26 en tout, tirées des exercices corrigés du cours. Réponds à celles que tu sais faire et passe celles d'un chapitre que tu n'as pas encore vu : chaque réponse se vérifie tout de suite, et la correction s'ouvre après.

Avec ton espace gratuit, chaque réponse est gardée et ton tableau de bord range chaque chapitre : réussi au test, ou à travailler. Ce sont les mêmes questions que sur les pages des séries : une réponse donnée ici compte là-bas.

Ce que le cours suppose

Ces chapitres viennent d'une année précédente, et le cours s'appuie dessus dès les premières semaines.

Mathématiques · Secondaire 3 · Lois des exposants et notation scientifique

Élever un PRODUIT à une puissance, c'est élever chaque facteur. Élever une SOMME à une puissance, c'est autre chose, et la parenthèse dit à quoi s'applique l'exposant. La figure compare un cube d'arête $2a$ et deux cubes d'arête $a$ .

a) Exprimez le volume du grand cube et celui des deux petits cubes réunis. Combien de petits cubes faudrait-il pour égaler le grand ?

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Réponse

a) $8a^{3}$ contre $2a^{3}$ : il faudrait HUIT petits cubes

a) Le grand cube a pour volume $(2a)^{3}=2^{3}a^{3}=8a^{3}$ . Les deux petits cubes ont ensemble $2a^{3}$ . Il faudrait donc HUIT petits cubes, et pas deux, pour égaler le grand : doubler l'arête multiplie le volume par $2^{3}=8$ . La figure le dit : le grand cube a deux petits cubes de largeur, deux de profondeur et deux de hauteur. C'est la raison pour laquelle $(2a)^{3}\neq 2a^{3}$ : dans le premier, le $2$ est élevé au cube avec $a$ ; dans le second, il ne l'est pas.

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Mathématiques · Secondaire 3 · Expressions algébriques et mise en évidence

Un MONÔME est un produit d'un nombre, le coefficient, et de variables affectées d'exposants entiers positifs. Son DEGRÉ est la somme des exposants de ses variables. Deux monômes sont SEMBLABLES quand ils ont exactement les mêmes variables avec les mêmes exposants : seuls leurs coefficients peuvent différer.

On considère l'expression $E=5x^{2}y-3xy^{2}+7-2x^{2}y+xy^{2}-4$ .

a) Donnez le coefficient et le degré de chacun des six termes de $E$ .

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Réponse

a) $5$ et $3$ ; $-3$ et $3$ ; $7$ et $0$ ; $-2$ et $3$ ; $1$ et $3$ ; $-4$ et $0$

a) $5x^{2}y$ : coefficient $5$ , degré $2+1=3$ . $-3xy^{2}$ : coefficient $-3$ (le signe fait partie du coefficient), degré $1+2=3$ . $7$ : coefficient $7$ , degré $0$ , c'est un terme constant. $-2x^{2}y$ : coefficient $-2$ , degré $3$ . $xy^{2}$ : coefficient $1$ , qu'on n'écrit pas, degré $3$ . $-4$ : coefficient $-4$ , degré $0$ . Le degré compte les variables, pas le coefficient : $7$ est de degré $0$ même s'il vaut $7$ .

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Mathématiques · Secondaire 3 · Fonctions : propriétés et réciproque

Le graphique donne la température extérieure $T$ , en degrés Celsius, au cours d'une journée d'avril, en fonction de l'heure $h$ , de $0$ h à $24$ h. Les quatre premières propriétés d'une fonction se lisent directement dessus, à condition de savoir sur quel AXE regarder.

a) Donnez le domaine et l'image de la fonction.

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Réponse

a) Domaine $[0\,;24]$ h, image $[-6\,;8]$ degrés

a) Le DOMAINE se lit sur l'axe horizontal : la courbe existe de $h=0$ à $h=24$ , donc le domaine est $[0\,;24]$ heures. L'IMAGE se lit sur l'axe vertical : la courbe descend au plus bas à $-6$ (à $3$ h) et monte au plus haut à $8$ (à $15$ h), donc l'image est $[-6\,;8]$ degrés. Ce sont deux intervalles, l'un de $x$ , l'autre de $y$ , et on les écrit avec des crochets fermés parce que les extrémités sont atteintes.

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Mathématiques · Secondaire 3 · Fonction de degré 1 : variations directe et partielle

Le TAUX DE VARIATION $a$ entre deux points $(x_{1}\,;y_{1})$ et $(x_{2}\,;y_{2})$ est $a=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ : l'écart vertical divisé par l'écart horizontal. Il dit de combien $y$ change quand $x$ augmente de $1$ .

b) Calculez le taux entre $(-2\,;7)$ et $(4\,;-5)$ . Interprétez son signe.

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Réponse

b) $a=-2$ : quand $x$ augmente de $1$ , $y$ diminue de $2$

b) $a=\dfrac{-5-7}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2$ . Le taux est NÉGATIF : quand $x$ augmente de $1$ , $y$ DIMINUE de $2$ . La fonction est décroissante, la droite descend vers la droite. Le piège de cette question est le dénominateur, $4-(-2)=6$ et non $2$ : soustraire un négatif, c'est additionner.

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Mathématiques · Secondaire 3 · Figures et solides semblables : k, k², k³

Deux figures sont SEMBLABLES quand l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre : mêmes angles, et tous les côtés correspondants dans le MÊME rapport $k$ , le rapport de similitude. Si $k=1$ , les figures sont ISOMÉTRIQUES. La figure montre trois rectangles.

a) Les rectangles A et B sont-ils semblables ? Et A et C ? Justifiez par des rapports.

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Réponse

a) A et B oui, $k=1{,}5$ ; A et C non, $\dfrac{8}{6}\neq\dfrac{5}{4}$

a) A et B : $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ et $\dfrac{6}{4}=1{,}5$ , les deux rapports sont égaux, donc A et B sont semblables, avec $k=1{,}5$ de A vers B. A et C : $\dfrac{8}{6}\approx 1{,}33$ mais $\dfrac{5}{4}=1{,}25$ ; les rapports diffèrent, donc A et C ne sont PAS semblables, même si C « ressemble » à A. Deux rectangles ont toujours les mêmes angles : pour eux, tout se joue sur les rapports des côtés.

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Mathématiques · Secondaire 3 · Dénombrement et probabilité géométrique

Une COMBINAISON de $k$ éléments parmi $n$ est un choix NON ORDONNÉ de $k$ éléments distincts : un groupe, une poignée, un comité. Chaque combinaison correspond à $k!$ arrangements, ceux qu'on obtient en ordonnant ses éléments de toutes les façons. Donc : nombre de combinaisons $=\dfrac{\text{nombre d'arrangements}}{k!}$ .

a) Parmi $8$ élèves, on forme un comité de $3$ personnes aux rôles identiques. Combien de comités possibles ? Partez des $336$ arrangements de l'exercice 3.

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Réponse

a) $\dfrac{336}{3!}=56$ comités

a) Chaque comité $\{A, B, C\}$ compte pour $3!=6$ podiums différents (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA). Les $336$ arrangements regroupent donc les comités par paquets de $6$ : $\dfrac{336}{6}=56$ comités. On peut aussi écrire directement $\dfrac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$ . Passer d'un arrangement à une combinaison, c'est diviser par les ordres qu'on ne distingue plus.

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Mathématiques · Secondaire 3 · Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesures

La POPULATION est l'ensemble complet qu'on veut décrire ; l'ÉCHANTILLON est la partie qu'on observe réellement. Quatre méthodes pour le constituer : ALÉATOIRE SIMPLE (tirage au sort dans toute la population), SYSTÉMATIQUE (un individu sur $k$ dans une liste), STRATIFIÉ (la population est découpée en groupes et chaque groupe est représenté en proportion), PAR GRAPPES (on tire au sort des groupes entiers et on interroge tout le groupe).

a) Une école de $900$ élèves veut connaître l'avis de ses élèves sur la cafétéria. Nommez la population, puis proposez un échantillon de $90$ élèves pour chacune des quatre méthodes.

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Réponse

a) Population : les $900$ élèves ; quatre échantillons de $90$ , un par méthode

a) Population : les $900$ élèves de l'école, tous, y compris ceux qu'on n'interrogera pas. Aléatoire simple : on numérote les $900$ élèves et on tire $90$ numéros au sort. Systématique : sur la liste alphabétique, on tire un point de départ au hasard entre $1$ et $10$ , puis on prend un élève sur $10$ . Stratifié : on tire au sort, dans chaque niveau, un nombre d'élèves proportionnel à l'effectif du niveau, voir b). Par grappes : on tire au sort $3$ classes de $30$ élèves parmi toutes les classes, et on interroge les $90$ élèves de ces $3$ classes.

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Les chapitres du cours

Dans l'ordre du cours.

Chapitre 1 · Les exposants, les radicaux et la valeur absolue

C'est le point de rencontre des deux moitiés du chapitre, et le plus rentable en examen. Un indice PAIR ne rend jamais un nombre négatif : $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , et non $a$ .

Aucune hypothèse n'est faite sur le signe des lettres.

b) Simplifiez $\sqrt{x^{2}}$ , $\sqrt{x^{4}}$ , $\sqrt{x^{6}}$ et $\sqrt[3]{x^{3}}$ , sans supposer le signe de $x$ .

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Réponse

b) $|x|$ , $x^{2}$ , $|x|^{3}$ et $x$

b) $\sqrt{x^{2}}=|x|$ , et c'est la réponse attendue, pas $x$ . $\sqrt{x^{4}}=|x^{2}|=x^{2}$ : ici la valeur absolue est inutile parce qu'un carré est déjà positif, et l'écrire serait lourd sans être faux. $\sqrt{x^{6}}=|x^{3}|=|x|^{3}$ : le cube, lui, garde le signe, donc la valeur absolue est indispensable. Enfin $\sqrt[3]{x^{3}}=x$ , sans valeur absolue, l'indice étant impair. La règle opérationnelle : après simplification, si l'exposant restant est IMPAIR et l'indice PAIR, il faut une valeur absolue.

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Chapitre 2 · Les logarithmes et le changement de base

Le logarithme décimal COMPTE LES CHIFFRES. Un entier $N$ à $n$ chiffres vérifie $10^{\,n-1}\le N<10^{\,n}$ , donc $n-1\le\log_{10}N<n$ : le nombre de chiffres de $N$ vaut la partie entière de $\log_{10}N$ , augmentée de $1$ .

On prendra $\log_{10}2\approx 0{,}301030$ et $\log_{10}3\approx 0{,}477121$ .

a) Combien de chiffres compte $2^{100}$ ?

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Réponse

a) $31$ chiffres

a) $\log_{10}\left(2^{100}\right)=100\log_{10}2\approx 100\times 0{,}301030=30{,}1030$ . La partie entière vaut $30$ , donc $2^{100}$ compte $31$ chiffres. Le calcul direct est hors de portée d'une calculatrice ordinaire, qui affiche une erreur de dépassement : c'est justement l'intérêt de la méthode, qui remplace un nombre de trente et un chiffres par une multiplication à une décimale.

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Chapitre 3 · Les calculs algébriques et les expressions rationnelles

On pose la division comme celle de deux nombres, en alignant les puissances décroissantes. La règle à ne jamais oublier : tout degré manquant s'écrit avec un coefficient ZÉRO, sinon les colonnes se décalent et tout est faux à partir de là.

Donnez à chaque fois le quotient et le reste.

b) $(2x^{3}-5x^{2}+9)\div(x-3)$

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Réponse

b) $Q=2x^{2}+x+3$ , $R=18$

b) Le polynôme n'a pas de terme en $x$ : on écrit donc $2x^{3}-5x^{2}+0x+9$ . Premier quotient partiel : $2x^{2}$ , qui donne $2x^{3}-6x^{2}$ , reste $x^{2}+0x+9$ . Deuxième : $x$ , qui donne $x^{2}-3x$ , reste $3x+9$ . Troisième : $3$ , qui donne $3x-9$ , reste $18$ . Donc $Q=2x^{2}+x+3$ et $R=18$ . Sans le $0x$ , la deuxième étape aurait fait descendre le $9$ à la place du terme en $x$ , et le quotient aurait été de degré faux.

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Chapitre 4 · La factorisation

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ . La figure en donne la preuve par les aires : on retire un carré de côté $b$ d'un carré de côté $a$ , on coupe la pièce restante et on la recolle en un rectangle de côtés $a-b$ et $a+b$ .

Attention, une SOMME de carrés ne se factorise jamais sur les réels.

b) $16y^{4}-1$ (allez jusqu'au bout)

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Réponse

b) $(2y-1)(2y+1)(4y^{2}+1)$

b) $16y^{4}=(4y^{2})^{2}$ et $1=1^{2}$ , donc une première fois : $(4y^{2}-1)(4y^{2}+1)$ . La première parenthèse est ENCORE une différence de carrés, $(2y)^{2}-1^{2}$ , donc $(2y-1)(2y+1)$ . La seconde, $4y^{2}+1$ , est une SOMME de carrés et ne se factorise pas. Le résultat complet est $(2y-1)(2y+1)(4y^{2}+1)$ . Une différence de carrés dont les deux termes sont eux-mêmes des carrés se factorise toujours deux fois : c'est le réflexe à prendre devant une puissance quatrième.

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Chapitre 5 · Les équations et les inéquations

La méthode est toujours la même : ISOLER le radical, élever au carré, résoudre, puis VÉRIFIER chaque candidat dans l'équation de départ.

La vérification n'est pas une politesse : élever au carré peut FABRIQUER des solutions, parce que $A=B$ et $A=-B$ donnent le même carré. Une copie sans vérification plafonne à la moitié des points.

b) $\sqrt{2x-3}=x-3$

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Réponse

b) $x=6$ ; $x=2$ rejetée

b) On élève au carré : $2x-3=(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$ , donc $x^{2}-8x+12=0$ , dont les racines sont $2$ et $6$ . Vérification, et c'est ici que tout se joue. Pour $x=2$ : à gauche $\sqrt{1}=1$ , à droite $2-3=-1$ . Une racine carrée n'est jamais négative, donc $x=2$ est une racine ÉTRANGÈRE, à rejeter. Pour $x=6$ : à gauche $\sqrt{9}=3$ , à droite $3$ , donc elle convient. Solution unique : $x=6$ .

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Chapitre 6 · Les systèmes d'équations

Quand aucune variable n'est isolée, on rend OPPOSÉS les coefficients d'une même variable, puis on additionne les deux équations membre à membre : la variable disparaît.

Pour rendre les coefficients opposés, on multiplie une équation, ou les deux, par un nombre non nul.

b) $3x+5y=-9$ et $4x-2y=14$

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Réponse

b) $(2\,;-3)$

b) On vise $y$ . Les coefficients sont $5$ et $-2$ : on multiplie la première par $2$ et la seconde par $5$ , ce qui donne $+10y$ et $-10y$ . Premier système transformé : $6x+10y=-18$ et $20x-10y=70$ . On additionne : $26x=52$ , donc $x=2$ , puis $3\times 2+5y=-9$ donne $5y=-15$ et $y=-3$ . La solution est $(2\,;-3)$ . Vérification dans la seconde : $4\times 2-2\times(-3)=8+6=14$ . Il faut multiplier l'équation ENTIÈRE, second membre compris : oublier de multiplier le $-9$ est l'erreur du chapitre.

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Chapitre 7 · La fonction quadratique de sommet à l'origine

La figure montre $f(x)=3x^{2}$ en trait plein et $g(x)=-2x^{2}$ en pointillé. Toutes les propriétés du chapitre s'y lisent directement.

Répondez pour les DEUX fonctions à chaque question.

b) Combien de zéros chaque fonction a-t-elle, et lequel ?

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Réponse

b) Un seul zéro chacune, $x=0$

b) Un seul zéro chacune, et c'est $x=0$ . On le résout : $3x^{2}=0$ donne $x^{2}=0$ , donc $x=0$ , une racine double. Répondre « deux zéros » est l'erreur du chapitre : une parabole de sommet à l'origine TOUCHE l'axe des abscisses au lieu de le traverser, donc elle n'a qu'un point commun avec lui. C'est aussi ce que montre la figure.

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Chapitre 8 · La fonction racine carrée de sommet à l'origine

Le sommet étant à l'origine, un seul point suffit encore. On remplace, on calcule la racine, et l'on isole $a$ .

Donnez chaque règle sous la forme $f(x)=a\sqrt{x}$ ou $f(x)=a\sqrt{-x}$ , selon le côté où part la branche.

a) La branche part vers la droite et passe par $(9\,;12)$ .

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Réponse

a) $f(x)=4\sqrt{x}$

a) On remplace : $12=a\sqrt{9}=3a$ , donc $a=4$ et $f(x)=4\sqrt{x}$ . On calcule la RACINE avant de diviser : diviser $12$ par $9$ donnerait $a=\dfrac{4}{3}$ , et la courbe passerait par $(9\,;4)$ . Vérification : $4\sqrt{9}=12$ .

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Chapitre 9 · La fonction exponentielle

Une fonction exponentielle du programme de Technico-sciences s'écrit $f(x)=a\,c^{x}$ , avec $a\neq 0$ , $c>0$ et $c\neq 1$ . La variable est À L'EXPOSANT : c'est toute la différence avec la fonction quadratique, où elle était à la base.

La figure montre $f(x)=3\cdot 2^{x}$ en trait plein et $h(x)=-3\cdot 2^{x}$ en pointillé.

a) Calculez $f(0)$ , $f(2)$ et $f(-1)$ pour $f(x)=3\cdot 2^{x}$ .

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Réponse

a) $f(0)=3$ , $f(2)=12$ , $f(-1)=1{,}5$

a) $f(0)=3\cdot 2^{0}=3\cdot 1=3$ : toute base élevée à l'exposant zéro donne $1$ , donc l'image de zéro est le paramètre $a$ lui-même. $f(2)=3\cdot 4=12$ . $f(-1)=3\cdot 2^{-1}=3\cdot\dfrac{1}{2}=1{,}5$ . Retenez ce dernier calcul : un exposant NÉGATIF ne rend pas un résultat négatif, il rend un inverse. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se voit sur la courbe, qui reste au-dessus de l'axe même très loin à gauche.

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Chapitre 10 · La fonction logarithmique

La forme complète du chapitre est $f(x)=a\log_{c}(bx)$ . Le paramètre $b$ est DANS le logarithme, et la loi du produit dit exactement ce qu'il fait : $\log_{c}(bx)=\log_{c}(b)+\log_{c}(x)$ .

Il ajoute donc une CONSTANTE, c'est-à-dire qu'il déplace la courbe vers le haut ou vers le bas. C'est le miroir exact du chapitre précédent, où le paramètre de l'exposant changeait la base.

La figure montre $\log_{2}(x)$ en trait plein et $\log_{2}(8x)$ en pointillé.

d) Donnez le domaine de $h(x)=\log_{2}(-x)$ et calculez $h(-8)$ .

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Réponse

d) Domaine $]-\infty\,;0[$ et $h(-8)=3$

d) Il faut que le contenu du logarithme soit strictement positif : $-x>0$ , donc $x<0$ . Le domaine est $]-\infty\,;0[$ , et la courbe vit entièrement à GAUCHE de l'axe des ordonnées. On calcule $h(-8)=\log_{2}(8)=3$ : l'abscisse est négative, l'image ne l'est pas. Le signe moins est à l'intérieur du logarithme, il ne sort jamais devant.

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Chapitre 11 · Les fonctions définies par parties

Une fonction définie par parties donne plusieurs règles, chacune accompagnée d'un intervalle. Pour calculer une image, on regarde D'ABORD dans quel intervalle tombe l'abscisse, ensuite seulement on calcule.

On travaille avec $f(x)=-2x-1$ si $x<-1$ , $f(x)=x^{2}$ si $-1\le x\le 2$ , et $f(x)=5$ si $x>2$ .

a) Calculez $f(-3)$ , $f(-1)$ et $f(0)$ .

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Réponse

a) $f(-3)=5$ , $f(-1)=1$ et $f(0)=0$

a) $-3<-1$ , donc c'est le premier morceau : $f(-3)=-2(-3)-1=6-1=5$ . Pour $x=-1$ , l'intervalle du deuxième morceau est $-1\le x\le 2$ , borne COMPRISE, donc $f(-1)=(-1)^{2}=1$ . Pour $x=0$ , encore le deuxième : $f(0)=0$ . L'ordre des gestes compte : chercher l'intervalle, puis calculer. Calculer d'abord avec la mauvaise règle est l'erreur la plus fréquente, et elle ne se voit pas dans le résultat, ce qui la rend chère.

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Chapitre 12 · La fonction partie entière

La partie entière de $x$ , notée $[x]$ ou $\lfloor x\rfloor$ , est le PLUS GRAND ENTIER INFÉRIEUR OU ÉGAL à $x$ . Ce n'est pas l'entier le plus proche, et ce n'est pas « enlever les décimales ».

La figure montre la courbe de $f(x)=[x]$ : une suite de marches horizontales, fermées à gauche et ouvertes à droite.

a) Calculez $[2{,}7]$ , $[-1{,}5]$ , $[3]$ et $[-0{,}2]$ .

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Réponse

a) $2$ , $-2$ , $3$ et $-1$

a) $[2{,}7]=2$ , le plus grand entier qui ne dépasse pas $2{,}7$ . $[-1{,}5]=-2$ : les entiers inférieurs ou égaux à $-1{,}5$ sont $-2$ , $-3$ , et le plus grand est $-2$ . $[3]=3$ , un entier est sa propre partie entière. $[-0{,}2]=-1$ , pour la même raison que le deuxième : $0$ est plus grand que $-0{,}2$ , donc il est exclu.

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Chapitre 13 · La similitude et l'isométrie des triangles

Deux triangles sont SEMBLABLES quand ils ont la même forme : mêmes angles, côtés proportionnels. Les trois cas sont angle-angle, côté-angle-côté avec un rapport commun, et côté-côté-côté avec un rapport commun.

Pour chaque paire, dites si les triangles sont semblables, nommez le cas et donnez le rapport $k$ qui fait passer du premier au second.

c) $ABC$ : $3$ , $4$ et $5$ . $DEF$ : $7$ , $8$ et $10$ .

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Réponse

c) Non semblables : $\dfrac{7}{3}\neq 2$

c) NON semblables. On range les côtés du plus petit au plus grand et l'on compare les trois rapports : $\dfrac{7}{3}\approx 2{,}33$ , $\dfrac{8}{4}=2$ et $\dfrac{10}{5}=2$ . Deux rapports sur trois sont égaux, ce qui ne suffit pas : il faut les TROIS. Ici le premier triangle est rectangle, $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ , alors que le second ne l'est pas, $7^{2}+8^{2}=113\neq 100$ . Leurs formes diffèrent bel et bien.

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Chapitre 14 · Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , et $AH$ est la hauteur issue de l'angle droit. Cette hauteur coupe l'hypoténuse en deux morceaux, $BH=4$ cm et $CH=9$ cm.

Quatre relations lient ces longueurs : $AH^{2}=BH\times CH$ , $AB^{2}=BH\times BC$ , $AC^{2}=CH\times BC$ et $AB\times AC=BC\times AH$ .

c) Calculez $AB$ et $AC$ , au centième.

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Réponse

c) $AB=\sqrt{52}\approx 7{,}21$ cm et $AC=\sqrt{117}\approx 10{,}82$ cm

c) Pour le côté $AB$ , on prend le morceau ADJACENT, c'est-à-dire $BH$ , et l'hypoténuse ENTIÈRE : $AB^{2}=BH\times BC=4\times 13=52$ , donc $AB=\sqrt{52}\approx 7{,}21$ cm. De même $AC^{2}=CH\times BC=9\times 13=117$ , donc $AC=\sqrt{117}\approx 10{,}82$ cm. L'erreur classique est de multiplier les deux MORCEAUX, ce qui donnerait la hauteur au carré et non le côté au carré.

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Chapitre 15 · L'aire d'un triangle par la trigonométrie

La formule demande deux côtés ET l'angle qu'ils forment. Si l'angle donné est ailleurs, elle ne s'applique pas, et le nombre qu'on obtiendrait en l'employant quand même ne voudrait rien dire.

Pour chaque situation, dites si l'aire est calculable et, si oui, calculez-la au centième.

b) Deux côtés de $8$ cm et $11$ cm, et un angle de $65$ degrés OPPOSÉ au côté de $8$ cm.

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Réponse

b) Non calculable : l'angle n'est pas compris entre les deux côtés

b) NON calculable avec les outils de la quatrième secondaire. L'angle donné n'est pas entre les deux côtés : son sinus ne fabrique donc pas la hauteur relative à la base formée par ces côtés. Pour s'en sortir, il faudrait d'abord trouver l'angle compris, ce qui demande la loi des sinus, au programme de la cinquième secondaire. La réponse attendue est de dire pourquoi on ne peut pas, et non d'appliquer la formule au hasard.

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Chapitre 16 · La géométrie analytique

La distance entre $A(x_{1}\,;y_{1})$ et $B(x_{2}\,;y_{2})$ vaut $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ . Ce n'est pas une formule à part : c'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dont l'hypoténuse est $[AB]$ .

Donnez les valeurs exactes quand elles tombent juste, et arrondissez au centième sinon.

b) $C(1\,;-4)$ et $D(6\,;8)$ .

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Réponse

b) $CD=13$

b) Les écarts valent $6-1=5$ et $8-(-4)=12$ . Donc $CD=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ . Attention au calcul $8-(-4)$ : soustraire un nombre négatif l'AJOUTE, et c'est l'erreur de signe la plus fréquente du chapitre.

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Chapitre 17 · Probabilités, dénombrement et espérance

La factorielle $n!$ est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$ . Elle compte les façons d'ORDONNER $n$ objets, et elle est la brique de tout le dénombrement.

Deux questions différentes en découlent : si l'ordre compte, on parle d'ARRANGEMENTS ; sinon, de COMBINAISONS.

a) Calculez $5!$ , puis $0!$ .

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Réponse

a) $5!=120$ et $0!=1$

a) $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$ . Et $0!=1$ par convention : il y a exactement UNE façon de n'ordonner aucun objet, celle de ne rien faire. Cette convention n'est pas un caprice, c'est ce qui rend les formules valides aux extrémités.

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Chapitre 18 · Nuage de points, corrélation et droites de régression

Le dernier relevé est repris : l'outil a été utilisé sur une matière beaucoup plus dure, et le couple $(10\,;27)$ devient $(10\,;47)$ .

On recalcule les deux droites sur ce nouveau jeu de données, les neuf autres couples étant inchangés.

b) Recalculez les trois points médians. Que remarquez-vous ?

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Réponse

b) Ils sont inchangés : une médiane ne regarde que les rangs

b) Les trois points médians sont INCHANGÉS. Les deux premiers ne contiennent pas la donnée modifiée. Le troisième contient bien $(10\,;47)$ , mais la médiane des ordonnées $23$ , $24$ et $47$ reste $24$ : la valeur extrême occupe le même RANG qu'avant, et une médiane ne regarde que les rangs. On retrouve donc $P_{1}(2\,;7)$ , $P_{2}(5{,}5\,;15{,}5)$ et $P_{3}(9\,;24)$ .

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Chapitre 19 · L'écart moyen et l'écart type

On reprend la série A, de moyenne $14{,}5$ et d'écart type $2{,}29$ . Deux manipulations courantes se présentent en atelier : un DÉCALAGE, quand un appareil est mal calibré et que toutes les mesures sont trop grandes de la même quantité, et un CHANGEMENT D'UNITÉ, quand on multiplie toutes les données par un même facteur.

Chacune agit différemment sur la moyenne et sur la dispersion.

b) Que devient l'écart type ? Justifiez sans tout recalculer.

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Réponse

b) Écart type inchangé, $2{,}29$ : les écarts ne bougent pas

b) L'écart type NE CHANGE PAS, il reste $2{,}29$ . La raison tient en une ligne : chaque donnée augmente de $2$ et la moyenne aussi, donc chaque ÉCART à la moyenne est inchangé. Or l'écart type ne dépend que des écarts. Un décalage déplace toute la série en bloc sans l'étaler ni la resserrer.

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Faire le point : Mathématiques TS, Secondaire 4 TS

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