Faire le point : Mathématiques SN, Secondaire 5

a) Le DOMAINE se lit sur l'axe horizontal : la courbe existe de $h=0$ à $h=24$, donc le domaine est $[0\,;24]$ heures. L'IMAGE se lit sur l'axe vertical : la courbe descend au plus bas à $-6$ (à $3$ h) et monte au plus haut à $8$ (à $15$ h), donc l'image est $[-6\,;8]$ degrés. Ce sont deux intervalles, l'un de $x$, l'autre de $y$, et on les écrit avec des crochets fermés parce que les extrémités sont atteintes.

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b) $k=2\times 30=60$. Pour $x=5$ : $y=12$. Pour $y=4$ : $x=\dfrac{60}{4}=15$. Pour $x=0{,}5$ : $y=\dfrac{60}{0{,}5}=120$. Ce dernier cas surprend : diviser par un nombre plus petit que $1$ AGRANDIT, et plus $x$ s'approche de $0$, plus $y$ devient grand. C'est le comportement typique près de l'axe vertical.

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a) On factorise le dénominateur avant tout : $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, qui s'annule en $x=3$ et $x=-2$. Ce sont les valeurs interdites. Le numérateur se factorise en $(x-3)(x+3)$. On simplifie le facteur $(x-3)$ : l'expression vaut $\dfrac{x+3}{x+2}$. Point crucial : la forme simplifiée est définie en $x=3$ et y vaut $\dfrac{6}{5}$, mais l'expression D'ORIGINE ne l'est pas. Les deux valeurs interdites restent $x=3$ et $x=-2$.

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b) $y$ est isolé. On remplace : $4x-3(5-2x)=13$, soit $4x-15+6x=13$, donc $10x=28$ et $x=2{,}8$. Puis $y=5-2(2{,}8)=5-5{,}6=-0{,}6$. Le couple est $(2{,}8;-0{,}6)$. Vérification : $4(2{,}8)-3(-0{,}6)=11{,}2+1{,}8=13$ ✓. Attention au signe lors de la distribution de $-3$ sur $(5-2x)$ : c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

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d) La fonction est croissante sur $[0\,;6]$, constante sur $[6\,;9]$ et décroissante sur $[9\,;12]$. Les bornes appartiennent aux deux intervalles voisins, et l'on écrit donc des crochets fermés partout. Un palier n'est ni croissant ni décroissant : il se nomme CONSTANT, et l'oublier coûte un point à chaque évaluation.

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a) Le sommet est donné, donc on part de la forme canonique : $f(x)=a(x+1)^{2}-4$, en n'oubliant pas que $h=-1$ s'écrit $(x-(-1))=(x+1)$. Le point $(1\,;4)$ donne $4=a(1+1)^{2}-4$, soit $4a=8$ et $a=2$. La règle est $f(x)=2(x+1)^{2}-4$. Vérification : $2\times 4-4=4$, l'ordonnée annoncée.

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c) Chaque projection se déduit de la relation de la cathète. Pour $BH$, projection de la cathète $AB=15$ : $AB^2=BH\times BC$, donc $225=BH\times 25$ et $BH=9$ cm. Pour $CH$, projection de $AC=20$ : $400=CH\times 25$, donc $CH=16$ cm. Les mesures complètes sont donc $AB=15$, $AC=20$, $BC=25$, $AH=12$, $BH=9$ et $CH=16$ cm.

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a) C'est le carré d'une différence : $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=2x$ et $b=3$. Le carré du premier terme donne $a^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}$, et on élève au carré le coefficient EN MÊME TEMPS que la variable. Le double produit donne $2ab=2\times 2x\times 3=12x$, précédé du signe moins. Le carré du second donne $b^{2}=9$. Résultat : $4x^{2}-12x+9$. Deux erreurs coûtent la moitié des points ici : oublier complètement le double produit et écrire $4x^{2}+9$, ou oublier de le doubler et écrire $-6x$. Vérification en $x=1$ : $(2-3)^{2}=1$ et $4-12+9=1$ ✓.

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Règle de conversion, valable dans les deux sens : dans $a^{m/n}$, le DÉNOMINATEUR $n$ est l'indice de la racine et le NUMÉRATEUR $m$ est la puissance. Autrement dit $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$. Les deux lectures donnent le même nombre, mais pas le même travail : il faut presque toujours prendre la RACINE d'abord, parce qu'elle fait baisser les nombres alors que la puissance les fait exploser.

a) $\sqrt[3]{5^{2}}=5^{2/3}$ : indice $3$ au dénominateur, exposant $2$ au numérateur. Ce nombre ne se calcule pas exactement, car $5$ n'est ni un carré ni un cube parfait ; on laisse donc la forme exacte $5^{2/3}$ (à la calculatrice, environ $2{,}92$). Écrire une valeur décimale arrondie à la place d'une forme exacte fait perdre des points.

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Protocole obligatoire pour les équations logarithmiques, et il vaut des points en lui-même : poser le DOMAINE avant toute transformation, résoudre, puis CONFRONTER chaque candidat au domaine. Les équations purement exponentielles, elles, n'ont pas de domaine à poser.

a) Domaine : $x>0$. On regroupe par la loi du produit : $\log(x)+\log(4)=\log(4x)$, donc $\log(4x)=2$. On passe à la forme exponentielle : $4x=10^{2}=100$, d'où $x=25$. Comme $25>0$, la solution est admissible ✓. Vérification : $\log 25+\log 4=\log 100=2$ ✓.

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a) $f(0)=3\cdot 2^{0}=3\times 1=3$. Le point clé est que $2^{0}=1$ et non $0$ : toute puissance d'exposant nul vaut $1$, et cette erreur ferait disparaître le point de départ de la courbe. $f(1)=3\cdot 2^{1}=6$ et $f(3)=3\cdot 2^{3}=3\times 8=24$.

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Méthode en trois temps, toujours la même : on pose le DOMAINE d'existence, on passe à la forme exponentielle pour résoudre, puis on VÉRIFIE que la solution appartient au domaine. Sauter la première étape est ce qui fait accepter des solutions inexistantes.

b) Domaine : l'argument doit être strictement positif, donc $x-1>0$ et $x>1$. La notation $\log$ sans indice désigne le logarithme DÉCIMAL, de base $10$ : c'est une convention à connaître, et la confondre avec $\ln$ change complètement la réponse. On obtient $x-1=10^{2}=100$, donc $x=101$. Comme $101>1$, la solution est admissible ✓.

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Principe des trois questions : une fonction définie par parties est continue en un point de raccord si les deux morceaux y donnent la MÊME valeur. Quand un paramètre est en jeu, on écrit cette égalité et on la résout, ce qui donne une équation à une inconnue.

a) Le point de raccord est $x=1$. Le morceau de gauche, $2x+1$, y tend vers $2\times 1+1=3$. Le morceau de droite, $ax+2$, y vaut $a\times 1+2=a+2$. L'égalité $3=a+2$ donne $a=1$. Remarquez que le morceau de gauche est défini pour $x<1$ strictement, donc $1$ n'y appartient pas : on calcule bien une LIMITE, la valeur vers laquelle le morceau tend, et non une valeur atteinte. Le résultat numérique est le même parce que $2x+1$ est une fonction affine, donc sans surprise, mais la rédaction correcte le distingue.

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a) On isole d'abord la valeur absolue, jamais on ne scinde en deux cas tant qu'il reste un terme à côté : $2|x-1|-6=0$ donne $2|x-1|=6$, puis $|x-1|=3$. Une valeur absolue égale à un nombre POSITIF donne deux possibilités, car deux nombres opposés ont la même valeur absolue : $x-1=3$ ou $x-1=-3$, d'où $x=4$ ou $x=-2$. Zéros : $-2$ et $4$. On pouvait prévoir qu'il y en aurait exactement deux : le sommet $(1\,;-6)$ est situé sous l'axe des $x$ et $a=2>0$ ouvre la courbe vers le haut, donc les deux branches remontent et coupent chacune l'axe une fois. Remarquez que les deux zéros sont symétriques par rapport à $h=1$, chacun à distance $3$ ✓.

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a) On lit les paramètres sur $f(x)=2\lfloor x-1\rfloor+3$ : $a=2$, $b=1$ (sous-entendu devant le $x$), $h=1$ et $k=3$. La contremarche vaut $|a|=2$ : chaque saut fait monter la fonction de $2$. La marche vaut $\frac{1}{|b|}=1$ : chaque palier s'étend sur une unité. Le rôle de $a$ et celui de $b$ ne se confondent pas, l'un agit verticalement, l'autre horizontalement.

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a) L'ordonnée à l'origine est $f(0)$, mais encore faut-il que $0$ appartienne au domaine. Ici le radical impose $x-3\geq 0$, donc le domaine est $[3,\ +\infty[$ et $0$ n'en fait pas partie : la fonction N'A PAS d'ordonnée à l'origine, et écrire $f(0)=2\sqrt{-3}-4$ n'a aucun sens. C'est une différence importante avec les polynômes, qui coupent toujours l'axe des $y$ : une fonction racine carrée ne le coupe que si son sommet est situé du bon côté, ici seulement si $h\leq 0$.

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Principe unique de la conversion : faire apparaître le DÉNOMINATEUR à l'intérieur du numérateur, de façon à pouvoir séparer la fraction en deux morceaux dont l'un se simplifie. C'est une division déguisée, et elle réussit toujours.

a) $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$. On veut voir $(x-1)$ dans le numérateur : comme $2x+1=2(x-1)+2+1=2(x-1)+3$, on écrit $f(x)=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$, soit $f(x)=\frac{3}{x-1}+2$. Asymptotes : $x=1$ et $y=2$. Contrôle numérique en un point quelconque, $x=3$ : la forme de départ donne $\frac{7}{2}=3{,}5$, la forme canonique donne $\frac{3}{2}+2=3{,}5$ ✓.

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Méthode commune : on cherche les racines, puis on applique la règle du signe. Un trinôme est du SIGNE DE $a$ à l'extérieur de ses racines et du signe OPPOSÉ entre elles. Il n'y a rien d'autre à savoir, à condition de ne pas oublier de regarder le signe de $a$.

a) $x^{2}-2x-3\geq 0$. Racines : $\Delta=4+12=16$, donc $x=\frac{2\pm 4}{2}$, soit $-1$ et $3$. Ici $a=1>0$, la parabole est ouverte vers le haut : elle est positive à l'EXTÉRIEUR de ses racines et négative entre elles. Solution : $]-\infty\,;-1]\cup[3\,;+\infty[$, bornes fermées puisque l'inégalité est large et que les racines annulent le trinôme. Contrôle par un point-test dans chaque zone : en $x=-2$, $4+4-3=5>0$ ✓ ; en $x=0$, $-3<0$ ✓ ; en $x=4$, $16-8-3=5>0$ ✓.

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a) Une translation HORIZONTALE agit sur l'argument, et son signe apparaît INVERSÉ dans la règle : aller de $4$ unités vers la droite s'écrit $x-4$. Une translation verticale, elle, s'écrit dans le sens naturel : descendre de $1$ s'écrit $-1$. Règle : $y=|x-4|-1$, de sommet $(4\,;-1)$. Retenez l'asymétrie : les transformations HORIZONTALES s'écrivent à l'envers, les VERTICALES à l'endroit. La raison est qu'un décalage horizontal agit sur l'ENTRÉE avant que la fonction n'opère, alors qu'un décalage vertical agit sur la SORTIE après.

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b) Une composition se lit de l'intérieur vers l'extérieur, en deux lectures successives de la table. $(f\circ g)(1)$ : on cherche d'abord $g(1)=3$, puis on cherche $f$ de ce résultat, $f(3)=4$. Donc $(f\circ g)(1)=4$. $(g\circ f)(2)$ : d'abord $f(2)=3$, puis $g(3)=1$. Donc $(g\circ f)(2)=1$. Le résultat intermédiaire doit être traité comme une nouvelle entrée, et l'erreur classique consiste à relire la même colonne au lieu de changer de fonction.

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a) On pose $y=-3x+7$, puis on isole $x$ en défaisant les opérations dans l'ordre inverse : $f$ multiplie d'abord par $-3$ puis ajoute $7$, donc on retire $7$ puis on divise par $-3$. Cela donne $y-7=-3x$, donc $x=\dfrac{y-7}{-3}=\dfrac{7-y}{3}$. Il reste à échanger les noms des variables, ce qui traduit l'échange des rôles entre le départ et l'arrivée : $f^{-1}(x)=\dfrac{7-x}{3}$, soit sous forme développée $f^{-1}(x)=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{3}$. Domaine et image : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et atteint tout réel, donc $f^{-1}$ aussi. Aucune restriction n'est nécessaire ici, et c'est justement ce qui rend le cas affine facile.

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b) Les quatre sommets s'obtiennent en croisant les frontières deux à deux, puis en filtrant. $x=0$ et $y=0$ donnent $(0\,;0)$ ✓. $y=0$ et $x+y=5$ donnent $(5\,;0)$, qui vérifie $0\leq 6$ ✓. $y=x+1$ et $x+y=5$ donnent $(2\,;3)$, calculé en c) ✓. $x=0$ et $y=x+1$ donnent $(0\,;1)$, qui vérifie $0+1\leq 5$ ✓. Les quatre sommets sont donc $(0\,;0)$, $(5\,;0)$, $(2\,;3)$ et $(0\,;1)$. Il faut les énumérer dans l'ordre du contour, en tournant, sinon le polygone tracé se croise lui-même.

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b) Le maximum vaut $6$ V, le minimum $-2$ V. L'amplitude est la MOITIÉ de l'écart entre les deux : $\dfrac{6-(-2)}{2}=\dfrac{8}{2}=4$ V. L'axe de référence est la droite horizontale à mi-hauteur, $y=\dfrac{6+(-2)}{2}=2$. Répondre $8$ V à l'amplitude est l'erreur la plus fréquente du chapitre : l'écart total n'est pas l'amplitude, il en vaut le double.

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a) Le point image d'un réel $x$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$ : l'ABSCISSE est le cosinus, l'ORDONNÉE est le sinus. Pour $\frac{\pi}{3}$, soit $60°$, on lit $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc le point image est $\left(\frac{1}{2}\,;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Contrôle de plausibilité : $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$ est nettement plus grand que $0{,}5$, ce qui est cohérent avec un angle de $60°$, proche de la verticale. Inverser les deux coordonnées est l'erreur la plus fréquente, et ce contrôle la détecte immédiatement.

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Méthode commune, en deux temps qu'il ne faut jamais confondre. L'identité $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ donne la VALEUR ABSOLUE du rapport cherché, puisqu'elle passe par un carré. Le QUADRANT donne ensuite le SIGNE. Le calcul ne décide jamais du signe, seule la position du point image le fait.

a) $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, donc $\sin x=\pm\frac{4}{5}$. Au quadrant IV, l'ordonnée est négative, donc $\sin x=-\frac{4}{5}$. Le triplet $3$-$4$-$5$ apparaît ici, et c'est volontaire : les énoncés choisissent des triplets pythagoriciens pour que les valeurs restent rationnelles. Le reconnaître fait gagner du temps, car on sait d'avance que le résultat sera $\frac{4}{5}$ sans même faire la soustraction de fractions.

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Méthode commune : on cherche sur le cercle trigonométrique les points dont l'ordonnée (pour un sinus) ou l'abscisse (pour un cosinus) vaut la valeur donnée. Il y en a en général DEUX par tour, et donner une seule solution est l'erreur la plus sanctionnée.

a) $\sin x=\frac{1}{2}$ : on cherche les points d'ordonnée $\frac{1}{2}$, donc au-dessus de l'axe des abscisses, ce qui désigne les quadrants I et II. L'angle de référence est $\frac{\pi}{6}$. Au quadrant I : $x=\frac{\pi}{6}$. Au quadrant II : $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$. Deux solutions : $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$. Notez la règle propre au SINUS : la seconde solution s'obtient par $\pi-x_{0}$, symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

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a) Pour $f$, $b=2$, donc la période vaut $\dfrac{\pi}{|2|}=\dfrac{\pi}{2}$. La figure le confirme : les coupures se succèdent tous les $\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}57$. Pour $g$, $b=\dfrac{1}{2}$, donc la période vaut $\dfrac{\pi}{1/2}=2\pi$. Un $b$ plus grand que $1$ comprime, un $b$ entre $0$ et $1$ étire, exactement comme pour une sinusoïde.

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b) Configuration SAS : deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux. La loi des sinus est inutilisable, car aucun couple (côté, angle opposé) n'est complet. On commence donc par la loi des cosinus sur le côté opposé à l'angle connu : $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C=49+81-2(7)(9)\cos 52^{\circ}=130-126(0{,}61566)\approx 52{,}4267$, d'où $c\approx 7{,}24$. Le triangle possède maintenant un couple complet $(c,C)$, et la loi des sinus prend le relais : $\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{7(0{,}78801)}{7{,}2406}\approx 0{,}76182$, donc $A\approx 49{,}63^{\circ}$, puis $B=180^{\circ}-52^{\circ}-49{,}63^{\circ}\approx 78{,}37^{\circ}$.

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