Faire le point : Mathématiques TS, Secondaire 5 TS

Une question par chapitre, 35 en tout, tirées des exercices corrigés du cours. Réponds à celles que tu sais faire et passe celles d'un chapitre que tu n'as pas encore vu : chaque réponse se vérifie tout de suite, et la correction s'ouvre après.

Avec ton espace gratuit, chaque réponse est gardée et ton tableau de bord range chaque chapitre : réussi au test, ou à travailler. Ce sont les mêmes questions que sur les pages des séries : une réponse donnée ici compte là-bas.

Ce que le cours suppose

Ces chapitres viennent d'une année précédente, et le cours s'appuie dessus dès les premières semaines.

Mathématiques · Secondaire 3 · Lois des exposants et notation scientifique

Élever un PRODUIT à une puissance, c'est élever chaque facteur. Élever une SOMME à une puissance, c'est autre chose, et la parenthèse dit à quoi s'applique l'exposant. La figure compare un cube d'arête $2a$ et deux cubes d'arête $a$ .

a) Exprimez le volume du grand cube et celui des deux petits cubes réunis. Combien de petits cubes faudrait-il pour égaler le grand ?

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Réponse

a) $8a^{3}$ contre $2a^{3}$ : il faudrait HUIT petits cubes

a) Le grand cube a pour volume $(2a)^{3}=2^{3}a^{3}=8a^{3}$ . Les deux petits cubes ont ensemble $2a^{3}$ . Il faudrait donc HUIT petits cubes, et pas deux, pour égaler le grand : doubler l'arête multiplie le volume par $2^{3}=8$ . La figure le dit : le grand cube a deux petits cubes de largeur, deux de profondeur et deux de hauteur. C'est la raison pour laquelle $(2a)^{3}\neq 2a^{3}$ : dans le premier, le $2$ est élevé au cube avec $a$ ; dans le second, il ne l'est pas.

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Mathématiques · Secondaire 3 · Expressions algébriques et mise en évidence

Un MONÔME est un produit d'un nombre, le coefficient, et de variables affectées d'exposants entiers positifs. Son DEGRÉ est la somme des exposants de ses variables. Deux monômes sont SEMBLABLES quand ils ont exactement les mêmes variables avec les mêmes exposants : seuls leurs coefficients peuvent différer.

On considère l'expression $E=5x^{2}y-3xy^{2}+7-2x^{2}y+xy^{2}-4$ .

a) Donnez le coefficient et le degré de chacun des six termes de $E$ .

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Réponse

a) $5$ et $3$ ; $-3$ et $3$ ; $7$ et $0$ ; $-2$ et $3$ ; $1$ et $3$ ; $-4$ et $0$

a) $5x^{2}y$ : coefficient $5$ , degré $2+1=3$ . $-3xy^{2}$ : coefficient $-3$ (le signe fait partie du coefficient), degré $1+2=3$ . $7$ : coefficient $7$ , degré $0$ , c'est un terme constant. $-2x^{2}y$ : coefficient $-2$ , degré $3$ . $xy^{2}$ : coefficient $1$ , qu'on n'écrit pas, degré $3$ . $-4$ : coefficient $-4$ , degré $0$ . Le degré compte les variables, pas le coefficient : $7$ est de degré $0$ même s'il vaut $7$ .

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Mathématiques · Secondaire 4 · Les systèmes d'équations

La substitution s'utilise quand une variable est déjà isolée, ou quand son coefficient vaut $1$ ou $-1$ : on l'isole, puis on la remplace dans l'AUTRE équation.

Erreur à ne pas commettre : remplacer dans l'équation qui a servi à isoler, ce qui donne toujours une identité du type $0=0$ et n'apprend rien.

b) $y=5-2x$ et $4x-3y=13$

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Réponse

b) $(2{,}8\,;-0{,}6)$

b) $y$ est isolé. On remplace : $4x-3(5-2x)=13$ , soit $4x-15+6x=13$ , donc $10x=28$ et $x=2{,}8$ . Puis $y=5-2(2{,}8)=5-5{,}6=-0{,}6$ . Le couple est $(2{,}8;-0{,}6)$ . Vérification : $4(2{,}8)-3(-0{,}6)=11{,}2+1{,}8=13$ ✓. Attention au signe lors de la distribution de $-3$ sur $(5-2x)$ : c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

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Mathématiques · Secondaire 4 · Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle

Un triangle rectangle a une hypoténuse de $25$ cm et une cathète de $15$ cm. On trace la hauteur issue de l'angle droit.

Déterminez toutes les mesures manquantes en indiquant à chaque étape la relation utilisée.

c) Calculez les deux projections.

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Réponse

c) $BH=9$ cm, $CH=16$ cm

c) Chaque projection se déduit de la relation de la cathète. Pour $BH$ , projection de la cathète $AB=15$ : $AB^2=BH\times BC$ , donc $225=BH\times 25$ et $BH=9$ cm. Pour $CH$ , projection de $AC=20$ : $400=CH\times 25$ , donc $CH=16$ cm. Les mesures complètes sont donc $AB=15$ , $AC=20$ , $BC=25$ , $AH=12$ , $BH=9$ et $CH=16$ cm.

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Mathématiques · Secondaire 4 · La similitude et l'isométrie des triangles

Les triangles $ABC$ et $DEF$ de la figure sont semblables, avec la correspondance $A\leftrightarrow D$ , $B\leftrightarrow E$ , $C\leftrightarrow F$ .

On donne $AB=8$ , $BC=12$ , $AC=10$ et $DE=12$ .

b) Calculez $EF$ et $DF$ .

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Réponse

b) $EF=18$ , $DF=15$

b) Chaque côté de $DEF$ est le côté homologue de $ABC$ multiplié par $k$ . $EF$ est homologue de $BC$ , donc $EF=12\times 1{,}5=18$ . $DF$ est homologue de $AC$ , donc $DF=10\times 1{,}5=15$ . Le point à surveiller est l'appariement : c'est l'ordre des lettres dans $ABC\sim DEF$ qui dit que $BC$ va avec $EF$ , et non avec $DF$ .

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Mathématiques · Secondaire 4 TS · La factorisation

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ . La figure en donne la preuve par les aires : on retire un carré de côté $b$ d'un carré de côté $a$ , on coupe la pièce restante et on la recolle en un rectangle de côtés $a-b$ et $a+b$ .

Attention, une SOMME de carrés ne se factorise jamais sur les réels.

b) $16y^{4}-1$ (allez jusqu'au bout)

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Réponse

b) $(2y-1)(2y+1)(4y^{2}+1)$

b) $16y^{4}=(4y^{2})^{2}$ et $1=1^{2}$ , donc une première fois : $(4y^{2}-1)(4y^{2}+1)$ . La première parenthèse est ENCORE une différence de carrés, $(2y)^{2}-1^{2}$ , donc $(2y-1)(2y+1)$ . La seconde, $4y^{2}+1$ , est une SOMME de carrés et ne se factorise pas. Le résultat complet est $(2y-1)(2y+1)(4y^{2}+1)$ . Une différence de carrés dont les deux termes sont eux-mêmes des carrés se factorise toujours deux fois : c'est le réflexe à prendre devant une puissance quatrième.

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Mathématiques · Secondaire 4 TS · Les systèmes d'équations

Quand aucune variable n'est isolée, on rend OPPOSÉS les coefficients d'une même variable, puis on additionne les deux équations membre à membre : la variable disparaît.

Pour rendre les coefficients opposés, on multiplie une équation, ou les deux, par un nombre non nul.

b) $3x+5y=-9$ et $4x-2y=14$

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Réponse

b) $(2\,;-3)$

b) On vise $y$ . Les coefficients sont $5$ et $-2$ : on multiplie la première par $2$ et la seconde par $5$ , ce qui donne $+10y$ et $-10y$ . Premier système transformé : $6x+10y=-18$ et $20x-10y=70$ . On additionne : $26x=52$ , donc $x=2$ , puis $3\times 2+5y=-9$ donne $5y=-15$ et $y=-3$ . La solution est $(2\,;-3)$ . Vérification dans la seconde : $4\times 2-2\times(-3)=8+6=14$ . Il faut multiplier l'équation ENTIÈRE, second membre compris : oublier de multiplier le $-9$ est l'erreur du chapitre.

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Mathématiques · Secondaire 4 TS · La fonction quadratique de sommet à l'origine

La figure montre $f(x)=3x^{2}$ en trait plein et $g(x)=-2x^{2}$ en pointillé. Toutes les propriétés du chapitre s'y lisent directement.

Répondez pour les DEUX fonctions à chaque question.

b) Combien de zéros chaque fonction a-t-elle, et lequel ?

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Réponse

b) Un seul zéro chacune, $x=0$

b) Un seul zéro chacune, et c'est $x=0$ . On le résout : $3x^{2}=0$ donne $x^{2}=0$ , donc $x=0$ , une racine double. Répondre « deux zéros » est l'erreur du chapitre : une parabole de sommet à l'origine TOUCHE l'axe des abscisses au lieu de le traverser, donc elle n'a qu'un point commun avec lui. C'est aussi ce que montre la figure.

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Les chapitres du cours

Dans l'ordre du cours.

Chapitre 1 · Les exposants, les radicaux et la valeur absolue

C'est le point de rencontre des deux moitiés du chapitre, et le plus rentable en examen. Un indice PAIR ne rend jamais un nombre négatif : $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , et non $a$ .

Aucune hypothèse n'est faite sur le signe des lettres.

b) Simplifiez $\sqrt{x^{2}}$ , $\sqrt{x^{4}}$ , $\sqrt{x^{6}}$ et $\sqrt[3]{x^{3}}$ , sans supposer le signe de $x$ .

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Réponse

b) $|x|$ , $x^{2}$ , $|x|^{3}$ et $x$

b) $\sqrt{x^{2}}=|x|$ , et c'est la réponse attendue, pas $x$ . $\sqrt{x^{4}}=|x^{2}|=x^{2}$ : ici la valeur absolue est inutile parce qu'un carré est déjà positif, et l'écrire serait lourd sans être faux. $\sqrt{x^{6}}=|x^{3}|=|x|^{3}$ : le cube, lui, garde le signe, donc la valeur absolue est indispensable. Enfin $\sqrt[3]{x^{3}}=x$ , sans valeur absolue, l'indice étant impair. La règle opérationnelle : après simplification, si l'exposant restant est IMPAIR et l'indice PAIR, il faut une valeur absolue.

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Chapitre 2 · Les logarithmes et le changement de base

Le logarithme décimal COMPTE LES CHIFFRES. Un entier $N$ à $n$ chiffres vérifie $10^{\,n-1}\le N<10^{\,n}$ , donc $n-1\le\log_{10}N<n$ : le nombre de chiffres de $N$ vaut la partie entière de $\log_{10}N$ , augmentée de $1$ .

On prendra $\log_{10}2\approx 0{,}301030$ et $\log_{10}3\approx 0{,}477121$ .

a) Combien de chiffres compte $2^{100}$ ?

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Réponse

a) $31$ chiffres

a) $\log_{10}\left(2^{100}\right)=100\log_{10}2\approx 100\times 0{,}301030=30{,}1030$ . La partie entière vaut $30$ , donc $2^{100}$ compte $31$ chiffres. Le calcul direct est hors de portée d'une calculatrice ordinaire, qui affiche une erreur de dépassement : c'est justement l'intérêt de la méthode, qui remplace un nombre de trente et un chiffres par une multiplication à une décimale.

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Chapitre 3 · Les calculs algébriques et les expressions rationnelles

On pose la division comme celle de deux nombres, en alignant les puissances décroissantes. La règle à ne jamais oublier : tout degré manquant s'écrit avec un coefficient ZÉRO, sinon les colonnes se décalent et tout est faux à partir de là.

Donnez à chaque fois le quotient et le reste.

b) $(2x^{3}-5x^{2}+9)\div(x-3)$

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Réponse

b) $Q=2x^{2}+x+3$ , $R=18$

b) Le polynôme n'a pas de terme en $x$ : on écrit donc $2x^{3}-5x^{2}+0x+9$ . Premier quotient partiel : $2x^{2}$ , qui donne $2x^{3}-6x^{2}$ , reste $x^{2}+0x+9$ . Deuxième : $x$ , qui donne $x^{2}-3x$ , reste $3x+9$ . Troisième : $3$ , qui donne $3x-9$ , reste $18$ . Donc $Q=2x^{2}+x+3$ et $R=18$ . Sans le $0x$ , la deuxième étape aurait fait descendre le $9$ à la place du terme en $x$ , et le quotient aurait été de degré faux.

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Chapitre 4 · La complétion du carré et la formule quadratique

Quand $a\neq 1$ , on met $a$ en évidence sur les DEUX PREMIERS termes seulement, on complète le carré à l'intérieur de la parenthèse, puis on redistribue $a$ sur ce qui en sort.

Le piège tient en une ligne : le nombre retranché dans la parenthèse est multiplié par $a$ en sortant. Oublier cette multiplication est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

a) $3x^{2}+12x+5$

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Réponse

a) $3(x+2)^{2}-7$

a) $3x^{2}+12x+5=3(x^{2}+4x)+5$ . Dans la parenthèse, la moitié de $4$ vaut $2$ et $2^{2}=4$ : $3\left[(x+2)^{2}-4\right]+5$ . On redistribue : $3(x+2)^{2}-12+5=3(x+2)^{2}-7$ . Le $-4$ de la parenthèse est devenu $-12$ , c'est là que tout se joue. Vérification à $x=0$ : $3\times 4-7=5$ , et le trinôme de départ vaut $5$ .

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Chapitre 5 · Les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue

$|A|=k$ avec $k>0$ donne DEUX équations, $A=k$ et $A=-k$ , parce que deux nombres opposés ont la même distance à zéro. Avec $k=0$ il n'en reste qu'une, et avec $k<0$ il n'y en a aucune.

$|A|=|B|$ donne aussi deux cas, $A=B$ et $A=-B$ : deux nombres de même valeur absolue sont égaux ou opposés.

b) $|3x+1|=-4$

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Réponse

b) Aucune solution

b) Une valeur absolue est une distance : elle n'est jamais négative. L'équation $|3x+1|=-4$ n'a donc AUCUNE solution, et cela se dit en une ligne, sans écrire les deux cas. Poser $3x+1=-4$ et conclure $x=-\dfrac{5}{3}$ est l'erreur classique : on vérifie alors que $|3x+1|$ y vaut $4$ , et non $-4$ .

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Chapitre 6 · Les systèmes semi-linéaires et les régions du plan

Après substitution, il reste une équation du second degré. Son discriminant ne sert plus seulement à résoudre : il COMPTE les points communs. Positif, deux points ; nul, un seul, la tangence ; négatif, aucun.

C'est ce qui permet de répondre à une question de position relative sans tracer quoi que ce soit.

c) Pour quelles valeurs de $m$ la droite $y=mx-4$ est-elle tangente à la parabole $y=x^{2}$ ?

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Réponse

c) $m=4$ ou $m=-4$

c) On égale : $x^{2}=mx-4$ , donc $x^{2}-mx+4=0$ . Discriminant : $\Delta=m^{2}-16$ , nul pour $m^{2}=16$ , donc $m=4$ ou $m=-4$ . Il y a DEUX droites tangentes, symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe des $y$ , et oublier la solution négative coûte la moitié de la question. Vérification pour $m=4$ : $x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}=0$ , contact en $x=2$ , au point $(2\,;4)$ .

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Chapitre 7 · Programmation linéaire et optimisation

Le polygone de contraintes est l'intersection de tous les demi-plans. Ses SOMMETS sont les points où deux frontières se croisent, et ils se calculent en résolvant un système de deux équations, jamais en les lisant sur un dessin.

On reprend l'atelier de l'exercice 1, sans la contrainte de livraison : $2x+y\le 600$ , $x+3y\le 900$ , $x\ge 0$ et $y\ge 0$ .

a) Donnez les coordonnées des deux sommets situés sur les axes, autres que l'origine.

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Réponse

a) $(300\,;0)$ et $(0\,;300)$

a) Sur l'axe des $x$ , $y=0$ : la contrainte de découpe donne $2x=600$ , soit $x=300$ , et celle de soudure donne $x=900$ . La plus contraignante est la première : le sommet est $(300\,;0)$ . Sur l'axe des $y$ , $x=0$ : la découpe donne $y=600$ , la soudure $3y=900$ , soit $y=300$ . Ici c'est la soudure qui contraint : le sommet est $(0\,;300)$ . Prendre à chaque fois la plus PETITE des deux valeurs est ce qui évite de sortir du polygone.

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Chapitre 8 · Les paramètres des fonctions

Chaque paramètre a un rôle et un seul. $h$ translate horizontalement, $k$ verticalement, $a$ étire verticalement et décide de l'orientation, $b$ étire horizontalement et décide du sens de parcours.

Ce qui rapporte des points en examen, c'est de savoir ce qu'un paramètre NE change PAS : une translation ne modifie ni la forme ni l'ouverture, un étirement vertical ne déplace aucune asymptote verticale.

a) On passe de $y=x^{2}$ à $y=(x-3)^{2}-2$ . Décrivez la transformation et donnez le nouveau sommet.

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Réponse

a) Translation de $3$ vers la droite et de $2$ vers le bas ; sommet $(3\,;-2)$

a) $h=3$ donne une translation de $3$ unités vers la DROITE, $k=-2$ une translation de $2$ unités vers le bas. Le sommet passe de $(0\,;0)$ à $(3\,;-2)$ . La forme de la parabole est identique : $a$ vaut toujours $1$ , donc l'ouverture n'a pas bougé d'un millimètre. On peut superposer les deux courbes par simple glissement, ce que la figure montre.

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Chapitre 9 · Les opérations sur les fonctions

Le domaine d'un quotient s'obtient en deux temps : on garde ce qui appartient aux DEUX domaines de départ, puis on retire les zéros du dénominateur. Une simplification ne rend jamais une valeur permise.

b) $s(x)=\sqrt{x-4}$ et $t(x)=x-5$ : donnez le domaine de $\dfrac{s}{t}$ , puis celui de $\dfrac{t}{s}$ .

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Réponse

b) $[4\,;5[\ \cup\ ]5\,;+\infty[$ , puis $]4\,;+\infty[$

b) Domaine de $s$ : $x\ge 4$ . Domaine de $t$ : $\mathbb{R}$ . Pour $\dfrac{s}{t}$ , on garde $[4\,;+\infty[$ et l'on retire les zéros de $t$ , c'est-à-dire $5$ : le domaine est $[4\,;5[\ \cup\ ]5\,;+\infty[$ . Pour $\dfrac{t}{s}$ , on garde $[4\,;+\infty[$ et l'on retire les zéros de $s$ , c'est-à-dire $4$ : le domaine est $]4\,;+\infty[$ . Le même couple de fonctions donne donc deux domaines différents selon le sens du quotient.

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Chapitre 10 · La fonction réciproque

La réciproque d'une fonction existe toujours comme RELATION : il suffit d'échanger les coordonnées. Mais pour qu'elle soit une FONCTION, il faut que chaque image de départ ne vienne que d'un seul antécédent.

Le test : si une droite HORIZONTALE coupe la courbe en deux points, la réciproque n'est pas une fonction, et il faut restreindre le domaine.

a) Pour $f(x)=(x-1)^{2}-1$ , expliquez pourquoi la réciproque n'est pas une fonction.

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Réponse

a) Une horizontale la coupe deux fois : deux antécédents pour une même image

a) La courbe est une parabole de sommet $(1\,;-1)$ . La droite $y=3$ la coupe en $x=-1$ et $x=3$ , puisque $(x-1)^{2}=4$ donne $x-1=\pm 2$ . Deux antécédents différents ont donc la même image, et en échangeant les coordonnées on obtiendrait deux ordonnées pour l'abscisse $3$ : ce n'est pas une fonction. Il suffit d'UNE horizontale à deux intersections pour conclure.

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Chapitre 11 · Les fonctions quadratiques

Domaine, image, extremum, axe de symétrie et sens de variation se déduisent tous du sommet et du signe de $a$ , sans aucun tracé.

Pour chaque fonction, donnez le sommet, l'extremum en précisant sa nature, l'image, l'axe de symétrie et les intervalles de croissance et de décroissance.

a) $f(x)=3(x-2)^{2}-12$

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Réponse

a) Sommet $(2\,;-12)$ , minimum, image $[-12\,;+\infty[$ , axe $x=2$

a) Sommet $(2\,;-12)$ . Comme $a=3>0$ , la parabole s'ouvre vers le haut : $-12$ est un MINIMUM et l'image est $[-12\,;+\infty[$ . L'axe de symétrie est la verticale $x=2$ . La fonction décroît sur $]-\infty\,;2]$ puis croît sur $[2\,;+\infty[$ , et l'on écrit les intervalles fermés en $2$ , les deux se touchant au sommet.

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Chapitre 12 · La fonction racine carrée

Une fonction racine carrée a AU PLUS un zéro, puisqu'elle est strictement monotone. Le trouver revient à isoler le radical, puis à élever au carré, ce qui impose une vérification.

On travaille sur $f(x)=2\sqrt{x+3}-6$ .

a) Donnez le domaine, l'image et l'ordonnée à l'origine de $f$ .

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Réponse

a) Domaine $[-3\,;+\infty[$ , image $[-6\,;+\infty[$ , ordonnée à l'origine $2\sqrt{3}-6\approx -2{,}536$

a) Le radicande impose $x+3\ge 0$ , donc le domaine est $[-3\,;+\infty[$ . Le point de départ est $(-3\,;-6)$ et $a=2>0$ , donc l'image est $[-6\,;+\infty[$ . L'ordonnée à l'origine est $f(0)=2\sqrt{3}-6\approx 3{,}464-6=-2{,}536$ . Elle existe parce que $0$ appartient au domaine, ce qui n'est pas toujours le cas et doit être vérifié.

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Chapitre 13 · La fonction rationnelle, dite homographique

Une fonction rationnelle s'écrit aussi $f(x)=\dfrac{px+q}{rx+s}$ . Sous cette forme, les asymptotes ne se lisent pas : il faut passer à la forme canonique, et la méthode est une DIVISION.

On divise le numérateur par le dénominateur : le quotient donne $k$ , le reste donne $a$ , et le zéro du dénominateur donne $h$ .

a) Écrivez $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+3}$ sous forme canonique.

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Réponse

a) $f(x)=\dfrac{1}{x+3}+2$

a) On écrit le numérateur en faisant apparaître le dénominateur : $2x+7=2(x+3)+1$ . Donc $f(x)=\dfrac{2(x+3)+1}{x+3}=2+\dfrac{1}{x+3}$ , c'est-à-dire $f(x)=\dfrac{1}{x+3}+2$ : $a=1$ , $h=-3$ , $k=2$ . Vérification en $x=-2$ : la forme de départ donne $\dfrac{3}{1}=3$ , la canonique donne $1+2=3$ .

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Chapitre 14 · Les fonctions exponentielles

Trois inconnues, $a$ , la base et $k$ , donc trois renseignements. L'asymptote donne $k$ sans calcul, et deux points suffisent alors pour le reste.

La technique : on retranche $k$ de chaque ordonnée, ce qui ramène à une exponentielle pure, puis on divise les deux valeurs obtenues, ce qui élimine $a$ .

a) Asymptote $y=2$ , passage par $(0\,;5)$ et $(2\,;14)$ . Donnez la règle sous la forme $a\,c^{x}+k$ .

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Réponse

a) $y=3\cdot\sqrt{3}^{\,x}+2$ , avec $c=\sqrt{3}\approx 1{,}732$

a) $k=2$ . On retranche : $5-2=3$ et $14-2=12$ , donc $a\,c^{0}=3$ et $a\,c^{2}=12$ . La première donne $a=3$ , et la seconde $3c^{2}=12$ , donc $c^{2}=4$ et $c=2$ ... attention, vérifions : $3\cdot 2^{2}=12$ , exact. La règle est $y=3\cdot 2^{x}+2$ . Contrôle sur les deux points : $3+2=5$ et $12+2=14$ .

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Chapitre 15 · Les fonctions logarithmiques

L'asymptote donne $h$ sans calcul. Avec la base imposée par l'énoncé, il reste $a$ et $k$ , donc deux points ; et si le zéro est donné, il vaut un point.

La technique : le zéro annule le contenu moins un, et un second point fixe le reste.

a) Asymptote $x=1$ , base $2$ , passage par $(3\,;0)$ et $(5\,;4)$ . Donnez la règle $a\log_{2}(x-1)+k$ .

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Réponse

a) $y=4\log_{2}(x-1)-4$

a) $h=1$ , donc $y=a\log_{2}(x-1)+k$ . Le point $(3\,;0)$ donne $a\log_{2}2+k=0$ , soit $a+k=0$ . Le point $(5\,;4)$ donne $a\log_{2}4+k=4$ , soit $2a+k=4$ . En soustrayant : $a=4$ , puis $k=-4$ . La règle est $y=4\log_{2}(x-1)-4$ . Vérification : $4\log_{2}4-4=8-4=4$ .

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Chapitre 16 · La fonction partie entière

Un escalier ne prend que des valeurs ISOLÉES, espacées de $|a|$ , et toutes décalées de $k$ . L'image est donc un ensemble de nombres, pas un intervalle.

La règle : les valeurs prises sont les $a\,n+k$ pour $n$ entier.

b) La valeur $6$ est-elle prise par $f$ ? Et la valeur $7$ ?

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Réponse

b) $6$ non, $7$ oui

b) $6$ n'est pas impair, donc elle n'est PAS prise : il faudrait $2n+1=6$ , soit $n=2{,}5$ , qui n'est pas entier. En revanche $7=2\times 3+1$ est prise, sur la marche où la partie entière vaut $3$ , c'est-à-dire pour $x$ entre $7$ et $9$ . Vérification : $f(8)=2\left[3{,}5\right]+1=7$ .

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Chapitre 17 · La loi des sinus et la loi des cosinus

Quand on connaît deux côtés et un angle NON compris, la loi des sinus donne un sinus, et deux angles ont le même sinus : $\theta$ et $180^{\circ}-\theta$ . Il faut donc discuter.

Le test : on calcule les deux candidats, on ajoute chacun à l'angle connu, et l'on garde ceux dont la somme reste sous $180$ degrés.

a) $a=9$ cm, $b=12$ cm et $A=40^{\circ}$ . Calculez les deux valeurs possibles de $B$ .

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Réponse

a) $B\approx 59{,}2^{\circ}$ ou $B\approx 120{,}8^{\circ}$

a) $\dfrac{\sin B}{12}=\dfrac{\sin 40^{\circ}}{9}$ , donc $\sin B=\dfrac{12\times 0{,}6428}{9}\approx 0{,}8571$ . Les deux angles de ce sinus sont $B_{1}\approx 59{,}0^{\circ}$ et $B_{2}=180-59{,}0=121{,}0^{\circ}$ .

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Chapitre 18 · Le cercle trigonométrique

Sur le cercle de rayon $1$ , le point image d'un angle $\theta$ a pour coordonnées $(\cos\theta\,;\sin\theta)$ . Les valeurs remarquables viennent de deux triangles, celui de $30$ et $60$ degrés et celui de $45$ degrés.

L'ANGLE DE RÉFÉRENCE est l'angle aigu que le rayon fait avec l'axe HORIZONTAL. Il donne la valeur absolue des coordonnées ; le quadrant donne les signes.

a) Donnez les coordonnées exactes du point image de $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ .

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Réponse

a) $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$ , $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

a) $\dfrac{\pi}{6}$ , soit $30$ degrés : $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$ . $\dfrac{\pi}{4}$ , soit $45$ degrés : $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , les deux coordonnées étant égales par symétrie. $\dfrac{\pi}{3}$ , soit $60$ degrés : $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ . Repère mnémotechnique : plus l'angle grandit dans le premier quadrant, plus le sinus grandit et plus le cosinus diminue.

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Chapitre 19 · Les fonctions sinus et cosinus

Les fonctions $f(x)=\sin x$ et $g(x)=\cos x$ portent le point image du cercle sur un graphique : l'abscisse est l'angle, l'ordonnée est l'ordonnée du point image pour le sinus, son abscisse pour le cosinus.

Tourner indéfiniment autour du cercle donne une courbe qui se répète : c'est la PÉRIODICITÉ, et elle est la propriété que les autres familles de fonctions n'ont pas.

a) Donnez le domaine, l'image et la période de $f(x)=\sin x$ .

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Réponse

a) Domaine $\mathbb{R}$ , image $[-1\,;1]$ , période $2\pi$

a) Le DOMAINE est $\mathbb{R}$ : on peut tourner d'un angle aussi grand qu'on veut, dans les deux sens. L'IMAGE est $[-1\,;1]$ : l'ordonnée d'un point du cercle de rayon $1$ ne sort jamais de là. La PÉRIODE est $2\pi$ : un tour complet ramène au même point image, donc à la même valeur.

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Chapitre 20 · La fonction tangente

Une branche de tangente se trace avec TROIS points et DEUX asymptotes : le point d'inflexion au milieu, et les deux points situés à un quart de période de part et d'autre, où la fonction vaut $k\pm|a|$ .

La courbe ci-dessous est celle de $g(x)=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$ .

a) Donnez la période de $g$ et les deux asymptotes visibles sur la figure.

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Réponse

a) Période $2\pi$ ; asymptotes $x=\pi$ et $x=-\pi$

a) Période $=\dfrac{\pi}{|b|}=\dfrac{\pi}{1/2}=2\pi$ . La tangente de base a ses asymptotes en $\pm\dfrac{\pi}{2}$ ; ici l'argument est $\dfrac{x}{2}$ , donc $\dfrac{x}{2}=\pm\dfrac{\pi}{2}$ donne $x=\pm\pi$ , ce que la figure montre.

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Chapitre 21 · Les identités trigonométriques

Simplifier, c'est ramener une expression à UN seul rapport, ou à un nombre. La stratégie qui marche presque toujours : tout écrire en sinus et en cosinus, mettre au même dénominateur, puis chercher la pythagoricienne.

On suppose partout que les dénominateurs ne s'annulent pas.

a) Simplifiez $\sin^{2}x+\sin^{2}x\tan^{2}x$ .

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Réponse

a) $\tan^{2}x$

a) On met $\sin^{2}x$ en facteur : $\sin^{2}x\left(1+\tan^{2}x\right)=\sin^{2}x\left(1+\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\right)=\sin^{2}x\times\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\tan^{2}x$ . La pythagoricienne apparaît au numérateur après la mise au même dénominateur : c'est le moment à guetter.

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Chapitre 22 · Figures et solides équivalents

Deux solides SEMBLABLES de rapport $k$ ont leurs longueurs dans le rapport $k$ , leurs aires dans le rapport $k^{2}$ et leurs volumes dans le rapport $k^{3}$ .

Deux solides ÉQUIVALENTS ont le même volume. Les deux notions n'ont rien à voir, et cet exercice sert à ne plus jamais les confondre.

a) Deux cubes semblables ont pour rapport $k=2$ . Quel est le rapport de leurs aires ? de leurs volumes ?

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Réponse

a) $4$ pour les aires, $8$ pour les volumes

a) Les aires sont dans le rapport $k^{2}=4$ , les volumes dans le rapport $k^{3}=8$ . Doubler toutes les dimensions QUADRUPLE l'aire et OCTUPLE le volume : c'est pour cela qu'un modèle réduit à l'échelle un demi ne pèse qu'un huitième de l'original.

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Chapitre 23 · Les coniques

Une hyperbole centrée à l'origine s'écrit $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ou $\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}=1$ . C'est le SIGNE, et non la taille des dénominateurs, qui décide de l'axe focal : le terme POSITIF le porte.

La relation change aussi : $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , avec un PLUS.

a) Pour $\dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{y^{2}}{9}=1$ , donnez $a$ , $b$ , $c$ , les sommets et les foyers.

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Réponse

a) $a=4$ , $b=3$ , $c=5$ ; sommets $(\pm 4\,;0)$ ; foyers $(\pm 5\,;0)$

a) Le terme POSITIF est celui en $x^{2}$ , donc l'axe focal est horizontal, $a^{2}=16$ et $a=4$ , $b^{2}=9$ et $b=3$ . Ici $c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+9=25$ , donc $c=5$ : c'est un PLUS, contrairement à l'ellipse. Sommets $(\pm 4\,;0)$ ; foyers $(\pm 5\,;0)$ , plus loin que les sommets, ce qui est toujours le cas pour une hyperbole.

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Chapitre 24 · Les vecteurs

On additionne et on soustrait des vecteurs COMPOSANTE PAR COMPOSANTE, et l'on multiplie par un scalaire en multipliant chaque composante.

Deux vecteurs sont COLINÉAIRES si l'un est un multiple de l'autre, ce qui se teste en une seule égalité de produits croisés.

a) Avec $\vec{u}=(3\,;-2)$ et $\vec{v}=(-1\,;5)$ , calculez $2\vec{u}-3\vec{v}$ .

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Réponse

a) $(9\,;-19)$

a) $2\vec{u}=(6\,;-4)$ et $3\vec{v}=(-3\,;15)$ , donc $2\vec{u}-3\vec{v}=(6-(-3)\,;-4-15)=(9\,;-19)$ . On traite chaque composante séparément, et l'erreur la plus fréquente est d'oublier de distribuer le signe moins sur les DEUX composantes du second vecteur.

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Chapitre 25 · Les relations métriques dans le cercle

Dans un cercle de centre $O$ et de rayon $5$ cm, les cordes $AB$ et $CD$ se coupent en $P$ . On mesure $AP = 2$ cm, $PB = 6$ cm et $CP = 3$ cm.

On quitte les angles pour les longueurs. La figure ne change pas, la question change.

a) Calculez $PD$ .

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Réponse

a) $2 \times 6 = 3 \times PD$ , donc $PD = 4$ cm

a) Quand deux cordes se coupent en un point intérieur, les produits des deux segments de chaque corde sont égaux : $AP \times PB = CP \times PD$ . On remplace : $2 \times 6 = 3 \times PD$ , donc $12 = 3 \times PD$ et $PD = 4$ cm. Attention à ce qu'on multiplie : ce sont les DEUX MORCEAUX d'une même corde, séparés par $P$ , jamais un morceau par la corde entière. Un élève qui écrirait $AP \times AB$ obtiendrait $2 \times 8 = 16$ et se tromperait de relation.

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Chapitre 26 · Les transformations géométriques

Un motif carré a l'un de ses sommets au point $P_0(4\,;0)$ . On lui applique une transformation $s$ , composée d'une rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$ suivie d'une homothétie de centre $O$ et de rapport $0{,}8$ . On répète l'opération pour obtenir $P_1$ , $P_2$ , et ainsi de suite.

Ce motif est celui des logos en spirale. Il se traite entièrement en coordonnées, sans aucune formule nouvelle.

d) Par quel facteur l'aire du motif a-t-elle été multipliée après quatre étapes ?

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Réponse

d) $0{,}64^{4} = 0{,}8^{8} \approx 0{,}1678$ , soit environ $16{,}8\,\%$

d) Chaque étape multiplie les longueurs par $0{,}8$ , donc les aires par $0{,}8^2 = 0{,}64$ . Après quatre étapes, l'aire a été multipliée par $0{,}64^4 = 0{,}8^8 \approx 0{,}1678$ , soit environ $16{,}8$ pour cent de l'aire de départ. L'erreur à éviter est de multiplier par $0{,}8^4 \approx 0{,}41$ : c'est le facteur des LONGUEURS après quatre étapes, pas celui des aires.

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Chapitre 27 · Les matrices et les transformations

On donne $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & -2 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -3 & 1 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Une matrice est un tableau de nombres. Tout ce qui suit dans le chapitre dépend d'une seule information : sa DIMENSION, c'est-à-dire son nombre de lignes puis son nombre de colonnes, dans cet ordre.

b) Donnez les éléments $a_{12}$ , $a_{23}$ et $b_{31}$ .

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Réponse

b) $a_{12}=-1$ , $a_{23}=-2$ , $b_{31}=6$

b) La notation $a_{ij}$ désigne l'élément de la ligne $i$ et de la colonne $j$ , dans cet ordre. Donc $a_{12}$ est à la première ligne, deuxième colonne : $a_{12} = -1$ . Ensuite $a_{23}$ est à la deuxième ligne, troisième colonne : $a_{23} = -2$ . Enfin $b_{31}$ est à la troisième ligne, première colonne de $B$ : $b_{31} = 6$ . L'erreur qui coûte le plus est d'inverser les deux indices ; on retient que le premier indice compte les lignes, comme le premier nombre d'une dimension.

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Et maintenant ?

Ton tableau de bord range chaque chapitre selon tes réponses et te dit par où commencer. Une date d'examen en tête ? Note-la sur la carte du cours : il en tire un plan, jour après jour.

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